Diferencias finitas

Introducción al Cálculo de Diferencias
Finitas

00. Las diferencias finitas y el cálculo diferencial

El Cálculo IntegroDiferencial ha sido durante el siglo XX una eficaz herramienta en el estudio, análisis y modelización de acontecimientos y avatares de la Física Teórica y de la Física Experimental, de la Técnica y de la Ingeniería. Como su nombre nos puede indicar, es un cálculo basado endiferencias (cálculo diferencial) o en sumaciones indefinidas (cálculo integral), cuando los parámetros que establecen la amplitud de las diferencias y de las sumas tienden a anularse, a hacerse infinitamente pequeños, al límite cero.

La construcción de diferencias finitas de valores funcionales, de las fórmulas de su aplicación a sumas, productos, cocientes, etc., de funciones reales ocomplejas es, sin duda, de una gran importancia a la hora de dar el paso al límite cero que convierte los cálculos en diferencias en cálculo diferencial, o las sumaciones indefinidas en cálculo integral.

En estas notas pretendemos, por tanto, previsualizar las reglas del cálculo diferencial actuando con operaciones en diferencias finitas y sumaciones indefinidas como previa preparación alpaso al límite cero. Para facilitar los cálculos usaremos los operadores en diferencias clásicos y sus correspondientes inversos para las sumaciones indefinidas.

01. Operadores de diferencias finitas. Definiciones

Supongamos una función real de variable real f(x) que toma valores discretos en x y en puntos de la recta real situados a distancia múltiplo de un intervalo h constante:

x, x+h,x+2h, ..., x+nh, ....

esto es, toma los valores

f(x), f(x+h), f(x+2h), ..., f(x+nh), ...

Se definen las diferencias entre valores consecutivos de la función de la forma siguiente:

diferencia progresiva: f(x+h)-f(x)

diferencia regresiva: f(x)-f(x-h)

diferencia centralizada: f(x+1/2h)-f(x-1/2h)

Se definen los siguientes operadores para las diferencias:

Operador diferenciaprogresiva:

∆f ( x) 

f ( x  h) − f ( x)

Operador diferencia regresiva:

∇ f ( x ) 

f ( x ) −

f ( x  h )

Operador diferencia central:

◊f ( x) 

f ( x  1 h) − f ( x − 1 h)

2 2

Es útil, además, para realizar operaciones, considerar los operadores siguiente e
identidad:

Operador siguiente:

Sf ( x) 

f ( x  h)

Operador identidad:

If ( x) 

f ( x)Se pueden generalizar estas expresiones para la aplicación reiterada de cada operador:

Operador de k- sima diferencia progresiva:

∆k f ( x)  ∆k −1 f ( x  h) − ∆k −1 f ( x)

∆0 f ( x) 

f ( x)

Operador de k- sima diferencia regresiva:

∇ k f ( x)  ∇ k −1 f ( x) − ∇ k −1 f ( x − h)

∇ 0 f ( x) 

f ( x)

Operador de k- sima diferencia

◊k f ( x)  ◊k −1 f ( x  1 h) −◊k −1 f ( x − 1 h

◊ 0 f ( x) 

f ( x)

centralizada: 2 2 )

Operador siguiente:

S k f ( x)  S K −1 f ( x  h)

S 0 f ( x) 

f ( x)

Operador identidad:

I k f ( x)  I K −1 f ( x)

02. Linealidad de los operadores en diferencias finitas

02.1. Las condiciones de linealidad: Teorema 01.
Se verifican las siguientes propiedades

∆c  0

∇
1) c const →  c  0
◊c  0

 ∆(cf ( x))  c∆f ( x)


2) ∇(cf ( x))  c∇f ( x)
 ◊(cf ( x))  c◊f ( x)
∇( f1 ( x)  f 2 ( x))  ∇f1 ( x)  ∇f 2 ( x)


3)  ∆( f1 ( x)  f 2 ( x))  ∆f1 ( x)  ∆f 2 ( x)
 ◊( f1 ( x)  f 2 ( x))  ◊f1 ( x)  ◊f 2 ( x)
∇(c1 f1 ( x)  c2 f 2 ( x))  c1∇f1 ( x)  c2 ∇f 2 ( x)


4)  ∆(c1 f1 ( x)  c2 f 2 ( x))  c1 ∆f1 ( x)  c2 ∆f 2 ( x)
 ◊(c1 f1 ( x)  c2 f 2 (x))  c1 ◊f1 ( x)  c2 ◊f 2 ( x)

Demostración:

1) Es obvio, al ser constante la función a la que se aplica el operador.

2) Calculamos en cada uno de los casos, que son análogos:

∆c. f ( x)  c. f ( x  h) − c. f ( x)  c. f ( x  h) − f ( x)  c.∆f ( x)

∇c. f ( x)  c. f ( x) − c. f ( x − h)  c. f ( x) − f ( x − h)  c.∇f ( x)

◊c. f ( x)  c. f ( x  1 h) − c. f...