diferencias finitas

6. Diferencias finitas 1D

6. DIFERENCIAS FINITAS 1D
Existen dos métodos para generar un sistema de ecuaciones de diferencias
finitas para problemas de transferencia de calor:
•

Comenzar con las ecuaciones diferenciales parciales del calor y expresarlas en
forma de diferencias finitas.

•

Realizar un balance de energía para regiones específicas de interés.

En este proyecto se hautilizado el primero de los métodos que a continuación
se va a detallar.

6.1.

APROXIMACIÓN POR DIFERENCIAS FINITAS PARA DERIVADAS

La función T(x) puede ser aproximada por una serie de Taylor en x como:
dTሺxሻ ∆x ଶ dଶ Tሺxሻ ∆x ଷ dଷ Tሺxሻ
Tሺx ൅ ∆xሻ ൌ Tሺxሻ ൅ ∆x ·
൅
·
൅
·
൅‫ڮ‬
dx
2
dx ଶ
6
dx ଷ

y

dTሺxሻ ∆x ଶ dଶ Tሺxሻ ∆x ଷ dଷ Tሺxሻ
Tሺx െ ∆xሻ ൌ Tሺxሻ െ ∆x ·
൅
·
െ
·
൅‫ڮ‬
dx
2dx ଶ
6
dx ଷ

Truncando la primera ecuación después de los dos primeros términos y
despejando la primera derivada de dicha ecuación obtenemos la aproximación en
diferencias finitas en forma implícita:

dTሺxሻ Tሺx ൅ ∆xሻ െ Tሺxሻ
ൌ
൅ errorሺ∆xሻ
dx
∆x

El error debido al truncamiento de la serie de Taylor es del orden de ∆x.

Adoración Cerezuela Parish
Grupo de Termotecnia

55Estudio térmico de las fachadas
ventiladas con aletas de PCM

6. Diferencias finitas 1D

Truncando la segunda ecuación después de los dos primeros términos y
despejando la primera derivada de dicha ecuación obtenemos la aproximación en
diferencias finitas en forma explícita:
dTሺxሻ Tሺxሻ െ Tሺx െ ∆xሻ
ൌ
൅ errorሺ∆xሻ
∆x
dx

Si truncando ambas ecuaciones en el tercer término, le restamos lasegunda de las
ecuaciones a la primera y despejamos la primera derivada de la función, obtenemos la
aproximación de la primera derivada en forma centrada:
dTሺxሻ Tሺx ൅ ∆xሻ െ Tሺx െ ∆xሻ
ൌ
൅ errorሺ∆x ଶ ሻ
dx
2 · ∆x

Para obtener la aproximación en diferencias finitas de la segunda derivada truncamos
las ecuaciones en el tercer término y las sumamos, para posteriormente despejar la
segundaderivada, obteniendo la siguiente relación, que es también una relación de
diferencias centrada:
dଶ Tሺxሻ Tሺx ൅ ∆xሻ ൅ Tሺx െ ∆xሻ െ 2 · Tሺxሻ
ൌ
൅ errorሺ∆x ଶ ሻ
∆x ଶ
dx ଶ

Tanto a la fase en estado sólido como a la fase en estado gaseoso se les puede
aplicar la ecuación de conducción de calor ya que por simplificación se suele asumir
que no existe convección en la fase líquida. Utilizaremos elsubíndice a para
referirnos tanto al estado sólido, líquido o al cambio de fase, siendo sus propiedades
en cada caso distintas y que serán definidas en el próximo apartado. De manera que la
ecuación de conducción de calor que se utiliza es:

∂
∂T
∂T
൬K ୟ · ൰ ൌ ρୟ · Cୟ ·
∂x
∂x
∂t

Adoración Cerezuela Parish
Grupo de Termotecnia

56

Estudio térmico de las fachadas
ventiladas conaletas de PCM

6. Diferencias finitas 1D

Aplicándole a esta ecuación el método de diferencias finitas explícitas
obtenemos:

Tሺx ൅ ∆x, tሻ ൅ Tሺx െ ∆x, tሻ െ 2 · Tሺx, tሻ
Tሺx, t ൅ ∆tሻ െ Tሺx, tሻ
Kୟ · ቈ
቉ ൌ Cpୟ · ρୟ · ቈ
቉
ଶ
∆x
∆t

Despejando el término de la temperatura en el tiempo (t+∆t) obtenemos la
ecuación que se utilizará para el cálculo del campo de temperaturas.
Tሺx, t ൅ ∆tሻ ൌKୟ
∆t
· ଶ · ሾTሺx ൅ ∆x, tሻ ൅ Tሺx െ ∆x, tሻ െ 2 · Tሺx, tሻሿ ൅ Tሺx, tሻ
Cpୟ · ρୟ ∆x
M

Mൌ
αୟ ൌ

6.2.

αୟ · ∆t
∆x ଶ

Kୟ
ρୟ · Cpୟ

ESTUDIO DE LAS

HIPÓTESIS DE SIMULACIÓN

Debido a que es necesario establecer un rango en el cual ocurre el cambio de
fase, la primera variable en estudio es justamente este rango.
El segundo criterio a estudiar es el nivel de mallado necesario, dado queaunque es bien conocido que cuanto más fina sea la malla, menor será el error,
consideraciones relacionadas con la acumulación de errores y el tiempo de cálculo y
los recursos computacionales, hacen recomendable que el afinamiento de la malla
tenga un límite.
Finalmente la tercera variable estudiada es el paso de tiempo, siendo válidas
las mismas consideraciones realizadas para el nivel...