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Fuente: Universidad Católica de Chile

GUÍA PRÁCTICA N° 6
Plan Biólogo II 2011

´ TRIANGULOS 1. Definamos...
Un tri´ngulo es una figura plana, cerrada, lia mitada por 3 trazos llamados lados y que se intersectan s´lo en sus puntos extremos llao mados v´rtices (no se cruzan). e Ejemplo 1 En el ABC figura, AB, BC y CA son los lados del tri´ngulo, mientras que a A, B y C son sus v´rtices. e C
 A
 

2.

´ Angulos en el tri´ngulo a
En un tri´ngulo siempre se cumple a que: La suma de sus angulos internos ´ es igual a 180o , es decir, α + β + γ = 180o . La suma de sus angulos externos ´ o , es decir, es igual a 360 α + β + γ = 360o . Cada angulo exterior es igual a la suma de los angulos interiores no ´ ´ adyacentes a ´l, es decir, e α = β +γ β =α+γ γ =α+β α A α β β B γ γ C

1 

B

3.

Clasificaci´n de tri´ngulos o a
1. Acut´ngulo: Tiene sus tres angulos agudos. a ´ 2. Rect´ngulo: Tiene un angulo recto. a ´ 3. Obtus´ngulo: Tiene un angulo obtuso. a ´

Se pueden clasificar seg´ n sus angulos en u ´

Y tambi´n seg´ n sus lados en e u 1. Escaleno: Tiene sus tres lados de distinta medida. 2. Is´sceles: Tiene s´lo dos lados de igual medida. o o 3. Equil´tero:Tiene sus tres lados de igual medida. a

4.

Congruencia de tri´ngulos a

Dos tri´ngulos son congruentes si y s´lo si sus angulos y lados tienen la a o ´ misma medida de forma correspondiente, es decir, que uno de los tri´ngulos a sea el otro pero girado. C  AB ∼ P Q =    BC ∼ QR  =    AC ∼ P R  =  ∼ P QR ⇒ ABC =    ABC ∼ P QR  =     BAC ∼ QP R  =    ACB ∼ P RQ = | A BP| | | | |

R

| |

| | |

|

Q

Para determinar si dos tri´ngulos son congruentes utilizaremos los siguientes a postulados C 1. ALA: Dos tri´ngulos son congruentes si tienen a respectivamente iguales un lado y los dos angulos ´ adyacentes a ese lado. A 2
|

C

B

A

|

B

C 2. LAL: Dos tri´ngulos son congruentes cuando tiea nen dos lados y el angulo comprendido entreellos ´ respectivamente iguales. A

C
| ||

| ||
|

B

A

|

B

C 3. LLL: Dos tri´ngulos son congruentes si tienen sus a tres lados respectivamente iguales. A

C
|| || | ||

| ||
|

B

A

|

B

C 4. LLA> : Dos tri´ngulos son congruentes cuando a tienen dos lados y el angulo opuesto al mayor de ´ esos lados respectivamente iguales. A

C
| ||

| ||
|

B

A C|

B

5.

Elementos secundarios
Altura: es el segmento perpendicular que va desde un v´rtice al lado opuesto e o a su prolongaci´n. o Ojo 1 En la figura, H es el ortocentro (punto de intersecci´n de las altuo ras). F E H

A

D

B

3

Bisectriz: es el trazo que divide al angulo en dos angulos congruentes. ´ ´ Ojo 2 En la figura, I = incentro (punto de intersecci´n de las bisectrioces). Ojo 3 El incentro, es el centro de la circunferencia inscrita al tri´ngulo, es a decir, que es tangente interiormente a sus lados. Por lo tanto, el incentro equidista de todos los lados.
α

C γ γ F I
α
β β

E

A

D

B

Transversal de gravedad: Es el trazo que une un vertice con el punto medio del lado opuesto.

C
¡¢

+
Ojo 4 En la figura, G = centro de gravedad (punto deintersecci´n de o las transversales de gravedad). Ojo 5 Si el ABC es rect´ngulo en a C, entonces CD = AD = DB. A F

G

E
¡¢

+
|

D

|

B

Simetral: Es la recta perpendicular que pasa por el punto medio de cada lado del tri´ngulo. a Ojo 6 En la figura, O = circuncentro (punto de intersecci´n de las sio metrales). Ojo 7 El circuncentro, es el centro de la circunferencia circunscritaal tri´ngulo, es decir, que pasa por todos a los v´rtices. Por lo tanto, el circune centro equidista de todos los v´rtices. e 4

C

+
F E
£¤

+
A
|

O D
|

£¤

B

C
¥¦

Mediana: Es el segmento de recta que une los puntos medios de los lados del tri´ngulo. a Ojo 8 ADF ∼ = DBE ∼ = F EC ∼ = F EF D

+

E
¥¦

Ojo 9 F E//AB, F D//BC y DE//AC. A

+
|

D

|

B...