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ALGEBRA DE BOOLE



INDUCCION COMPLETA
Consiste en comprobar que el teorema se cumple comprobando que es cierto para todas las posibles combinaciones de valores de las variables implicadas en el mismo.
Este consiste en calcular la tabla de verdad de la expresión booleana del teorema.
Demostración del teorema del consenso con inducción completa.

X
Y
Z
X’
XY
YZ
X’Z
F1
F2
0
0
01
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
1

Minitérminos
Para una función booleana de n variables x1,...xn, un producto booleano en el que cada una de las n variables aparece una sola vez (negada o sin negar) es llamado minitérmino.Es decir, un minitérmino es una expresión lógica de n variables consistente únicamente en el operador conjunción lógica (AND) y el operador complemento o negación (NOT).
Por ejemplo, abc, ab'c y abc' son ejemplos de minterms para una función booleana con las tres variables a, b y c.
Minitérminos
En general, uno asigna a cada minterm (escribiendo las variables que lo componen en el mismoorden), un índice basado en el valor binario del minterm.
Un término negado, como a' es considerado como el número binario 0 y el término no negado a es considerado como un 1.
Por ejemplo, se asociaría el número 6 con abc', y nombraríamos la expresión con el nombre m6. Entonces m0 de tres variables es a'b'c' y m7 debería ser abc al ser 111.
Se puede observar que cada minterm solo devuelve verdadero,(1), con una sola entrada de las posibles.
Por ejemplo, el minitérmino 5, ab'c es verdadero solo cuado a y c son ciertos y b es falso - la entrada a = 1, b = 0, c = 1 da resultado 1.
Maxitérminos
Un maxitérmino es una expresión lógica de n variables que consiste únicamente en la disyunción lógica y el operador complemento o negación. Los maxterms són una expresión dual de los minitérminos. Envez de usar operaciones AND utilizamos operaciones OR y procedemos de forma similar.
Por ejemplo, los siguientes términos canónicos son maxitérminos:
a + b' + c
a' + b + c






Dualización
El complemento de un minterm es su respectivo maxitérmino. Esto puede ser fácilmente verificado usando la Ley de De Morgan. Por ejemplo:
m1' = M1
(a'b)' = a + b'


FORMAS CANONICA Y NORMALIZADATérminos Mínimos: n variables formando un término AND, con cada variable tildada o no tildada, darán 2n combinaciones posibles llamadas términos mínimos (minterm) de un producto normalizado.
Términos Máximos: n variables formando un término OR, con cada variable tildada o no tildada, darán 2n combinaciones posibles llamadas términos máximos (maxterm) de las sumas normalizadas.
Cualquier funciónde Boole puede ser expresada como una suma de términos mínimos (por suma se quiere decir la suma OR de los términos)

Minitérminos y maxitérminos para tres variables binarias



Conversión entre las formas canónicas: El complemento de una función expresada como la suma de términos mínimos es igual a la suma de los términos mínimos faltantes de la función original. Esto último es debido a quela función original es expresada por aquellos términos mínimos que hacen la función igual a 1 mientras que el complemento es un 1 para aquellos términos mínimos en que la función es un cero. Ejemplo:
F (A, B, C) = Σ (1,4,5,6, 7)
Esta función tiene un complemento que puede expresarse así:
F’ (A, B , C) = Σ ( 0, 2 , 3) = m0 + m2 + m3
Ahora sí se obtiene el complemento de F’ por el teorema deDe Morgan obtendremos una F de manera diferente:
F= (m0 + m2 + m3)’ = m’0m’2m’3 = M0M2M3 = Π ( 0, 2, 3)
De lo observado es claro que es valida la siguiente relación:
m’j = Mj
El término máximo con suscrito j es un complemento de un término mínimo con el mismo suscrito j y viceversa.
Para hacer la conversión de una forma canónica a otra, intercámbiese los símbolos Σ y Π y lístese aquellos...