Dilatación de los cuerpos

En matemáticas, una serie es la generalización de la noción de suma a los términos de una sucesión infinita. Informalmente, es el resultado de sumar los términos: a1 + a2 + a3 + · ·  lo cual sueleescribirse en forma más compacta con el símbolo de sumatorio: .
El estudio de las series consiste en la evaluación de la suma de un número finito n de términos sucesivos, y mediante un pasaje allímiteidentificar el comportamiento de la serie a medida que n crece indefinidamente.
Una secuencia o cadena «finita», tiene un primer y último término bien definidos; en cambio en una serie infinita, cadauno de los términos suele obtenerse a partir de una determinada regla o fórmula, o por algún algoritmo. Al tener infinitos términos, esta noción suele expresarse como serie infinita, pero a diferenciade las sumas finitas, las series infinitas requieren de herramientas del análisis matemático para ser debidamente comprendidas y manipuladas. Existe una gran cantidad de métodos para determinar lanaturaleza de convergencia o no-convergencia de las series matemáticas, sin realizar explícitamente los cálculos.
DEFINICIONES
Sumas Parciales
Para cualquier secuencia  de númerosracionales, reales, complejos, sus funciones, etc., la serie asociada se define como la suma formal ordenada:.
La sucesión de sumas parciales  asociada a una sucesión  está definida para cada  como la suma de lasucesión desde  hasta :
.
Muchas de las propiedades generales de las series suelen enunciarse en términos de las sumas parciales asociadas.
[editar]Convergencia
Por definición, la serie  converge allímite  si y solo si la sucesión de sumas parciales asociada  converge a . Esta definición suele escribirse como
.

TIPOS

* En una serie geométrica cada término se obtiene multiplicando el anterior poruna constante, llamada razón r. En este ejemplo, r = 1/2:

La serie armónica es la serie

La serie armónica es divergente.
* Una serie alternada es una serie donde los términos...