Dinámica no Lineal

UNIVERSIDAD NACIONAL DE
COLOMBIA
Sede Manizales

Programa de Posgrado:
´
MAESTR´ EN CIENCIAS - MATEMATICA APLICADA
IA

´
´
KAREN LOPEZ BURITICA
C´digo: 8311004
o

Trabajo presentado para la asignatura:
Din´mica no Lineal, Bifurcaciones y Caos
a
Profesor: Dr. Gerard Olivar Tost

Mayo 30 de 2011

1

´
INTRODUCCION

Todo organismo vivo requiere de un continuo suministro yconsumo de energ´
ıa
para llevar a cabo todos los procesos biomec´nicos, el transporte activo y la bios´
a
ıntesis.
Mediante procesos metab´licos que transforman unas mol´culas en otras, un organo
e
ismo obtiene energ´ del entorno y de los alimentos, siendo los procesos metab´licos
ıa
o
complejas redes de reacciones qu´
ımicas que continuamente degradan energ´ libre
ıa
manteniendo elorganismo en constante estado de no-equilibrio [2].
El metabolismo de los alimentos que ingerimos usualmente sucede a trav´s de tres
e
etapas, siendo la gluc´lisis el proceso m´s importante de la segunda etapa. Durante
o
a
este proceso,una mol´cula de glucosa se transforma en dos mol´culas de piruvato. Es
e
e
decir que, en esta etapa la glucosa es descompuesta en elementos m´s simplesdentro
a
de las c´lulas del organismo.
e
B´sicamente la gluc´lisis es una secuencia de reacciones bioqu´
a
o
ımicas catalizadas
por enzimas, que puede darse tanto en condiciones aer´bicas como en condiciones
o
anaer´bicas.
o
Para la mayor´ de las c´lulas animales, la gluc´lisis es s´lo una porci´n de la
ıa
e
o
o
o
segunda etapa del catabolismo, ya que el ´cido pir´vico que segenera al final, entra
a
u
r´pidamente en las mitocondrias para ser completamente oxidado y convertido en
a
CO2 y H2 O. En el caso de los organismos anaer´bicos o en tejidos tales como el de
o
algunos m´sculos que funcionan en condiciones anaer´bicas, la gluc´lisis puede ser
u
o
o
la principal fuente de ATP de la c´lula. En estos casos, las mol´culas de piruvato
e
e
permanecen en elcitosol y, dependiendo del organismo, pueden convertirse en etanol
(como en la levadura) o en lactato (como en el m´sculo) [2].
u
En [2] se estudia un modelo matem´tico propuesto por Selkov que modela el
a
comportamiento oscilatorio temporal observado en la gluc´lisis, en un medio que se
o
considera espacialmente homog´neo.
e
En el presente trabajo se analiza un modelo propuesto en [1] similaral anterior.
Se hallan sus puntos de equilibrio, y se analiza su estabilidad. Se muestra porqu´ no
e
se presenta la Bifurcaci´n Fold, y los casos en los que se presenta la Bifurcaci´n de
o
o
Hopf. Se encuentra anal´
ıticamente el primer coeficiente de Lyapunov, con el que se
determina la estabilidad de los ciclos l´
ımite.

2

RESULTADOS

1. Modelo Matem´tico del Sistema
a
Elmodelo propuesto por Selkov es el siguiente:
x = −x + x2 y
˙
y = b − ay − x2 y
˙

tal que:
x : Concentraci´n de la mol´cula ADP
o
e
y : Concentraci´n de la mol´cula ATP
o
e

y a, b > 0 son par´metros cin´ticos.
a
e
Modelo a estudiar en el presente trabajo:
x = −x + ay + x2 y
˙
y = b − ay − x2 y
˙

Aunque en los fen´menos f´
o
ısicos los par´metros cin´ticos a, b son mayoresque
a
e
cero , en el presente trabajo tomamos a, b ∈ R con el unico objetivo de analizar
´
todas los posibles escenarios para el sistema.
2. Puntos de Equilibrio
Para x = 0 tenemos:
˙

−x + (x2 + a)y = 0

Para y = 0 tenemos:
˙

b − (x2 + a)y = 0

Luego x = b.
Si b2 + a = 0

⇒

b=0

⇒

a=0

⇒

x=y=0
˙
˙

De lo anterior se sigue que el unico punto de equilibrio delsistema es (x0 , y0 ) =
´
b
2
b, 2
con b + a = 0
b +a
Trasladamos el sistema para que el punto de equilibrio quede en el origen con
el siguiente cambio de coordenadas: (x, y) = ζ + b, η + b2b
+a

3

El sistema queda entonces:
b2 − a
b
+ 2bη ζ +
+ η ζ2
2+a
2+a
b
b
b
2b2
+ 2bη ζ −
+ η ζ2
η = − b2 + a η −
˙
2+a
2+a
b
b
˙
ζ = b2 + a η +

Haciendo ζ = x y η = y el...