DINAM S01 2015

S01. CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES

Campos escalares y vectoriales que dependen de una
sola variable. Diferenciación total y parcial de un vector.
Geometría diferencial. Operaciones vectoriales.

Las corrientes marinas, ¿ se describen escalar o
vectorialmente?

LOGROS
•

Al finalizar la sesión, el estudiante resuelve problemas geométricos
y físicos basándose en la teoría de campos escalares yvectoriales,
en forma correcta.

CAMPOS ESCALARES
•

•
•

Si en cada punto (x,y,z) de una región R del espacio se le puede
asociar una función Φ(x,y,z), entonces se tiene una función
escalar Φ en R.
Una función escalar define un campo escalar en una región o, en
una superficie o en una curva
Ejemplo. Temperaturas en el interior de un edificio.

(x,y,z)  x 3y  z2

Distribución de temperaturasen edificios

EJEMPLO

Viga en voladizo
sometida a una carga
puntual. Distribución
de la componente de
esfuerzo normal en
dirección x para los
pasos de carga
representativos

CAMPOS VECTORIALES
•

•

Si en cada punto (x,y,z) de una
región R del espacio se le
puede asociar un vector
V(x,y,z), se tiene una función
vectorial.
Una función vectorial define un
campo vectorial en una región
delespacio.

•

Ejemplo. Las velocidades en
cada punto (x,y,z) de un fluido
determinan un campo
vectorial.

V = (3xy) i + (2x-3z) j + (2x2y2 – z2) k

EJEMPLO

Campo de velocidades de las corrientes
marinas a nivel continental

EJERCICIO
•

¿En las figuras mostradas, cuáles representan campos escalares y
cuáles son campos vectoriales?, ¿Qué diferencias encuentra en las
características de dichos campos?(a)

(b)

(c)

(d)

PRODUCTO ESCALAR
•

Dados dos vectores,




AyB
•

 

AB B A

el producto escalar se define
como







•

B

 

 

 

 

 



ki 0


A

 

Propiedades
 

i j 0



 

A(B C) A 
B A C

 

AB A B
 cos



 

jk 0

i i 1
jj 1

kk 1

PRODUCTO VECTORIAL
• Dados dos vectores,


• Propiedades



AyB



















A (B  C)  A B  A C



C  A B  A B 
sen 







i j  k



C







i k   j



B







A B   B A

• el producto vectorial se
define como






A





j k  i



















i i  0
j j  0

k k  0

PRODUCTO VECTORIAL
• Otra expresión del producto
vectorial






i
 
A B  A x

j
Ay

k
Az

Bx

By

Bz









A  3 i  2 j 4 k
• ¿Aqué

 el producto
es igual
B  2de
i  los
2 j vectores
k
vectorial
Ay
B?

DERIVADA TOTAL DE UN VECTOR
Si R(u) es una función de la variable escalar u, la derivada total de
dicha función respecto de u se expresa como






dR(u)
R(u  u)  R(u)
 lim
u0
du
u

INTEGRAL DE UN VECTOR
o Si se tiene un vector función de una sola variable escalar, entonces
se considera que








R(u)du  i  R (u)du  j  R (u)du  k R (u)du.
x

y

z

o Si se encuentra un vector función que cumple con la siguiente
condición:


d S(u)
R(u) 
,
du
o Las integrales de R serán








b





 R(u)du  S(u)  C


a

R(u)du  S(b)  S(a)

EJERCICIO
La posición de una partícula en el espacio está dada por la siguiente
expresión vectorial:



3

r (3t  2 t ) i  2e

t2

j

 4SentDeterminar las magnitudes del vector velocidad y el vector
aceleración de la partícula para t = 0,25

k

EJERCICIO
El vector aceleración de una partícula en movimiento, se define
por la siguiente expresión:



a t

2

i

-t

-2 j

m/s2

Determinar el vector velocidad y el vector posición de la partícula
para t = 4s, si se sabe que en t = 1s:



v

1 j m/s



1i 1 j
r  
4
2

m

INTEGRALCURVILÍNEA O DE LÍNEA
o Sea









r (u)  x(u) i  y(u) j  z(u)k

o El vector posición de los puntos de una curva C que pasa por los
puntos P1 y P2 correspondientes a u=u1 y u=u2, respectivamente.
o Supongamos que C se compone de un número infinito de
arcos en los que r(u) tiene derivada continua. Sea A(x,y,z)=Ax
i+Ay j+Az k una función vectorial de posición definida y continua a
lo largo...