dinamica de particulas

Universidad Nacional de Ingeniería
Facultad de Ingeniería Civil
Dinámica de un Sistema de Partículas
Energía Cinética y Potencial
Impulso y Cantidad de movimiento
Masa variable
Choques

MSc.: Loayza Cordero Fredy Miguel

Dinámica de un Sistema de Partículas
Movimiento de Traslación de un de un Sistema de Partículas
momento lineal y ley de Newton
Conservación del momento linealEnergía Cinética y Potencial de un Sistema de Partículas
Impulso y cantidad de movimiento
Impulso y cantidad de movimiento
Masa variable
Colisiones

Movimiento de Traslación de un de un Sistema de Partículas
momento lineal y ley de Newton
De la definición de centro de masa se tiene

1

rCM 
M


m
r
 ii

Si se deriva respecto al tiempo el centro de masa de un sistema departícula se
obtiene la velocidad del centro de masa.


v CM 

v CM 


d rCM

1

dt
M

 mi v i

m


dri
i

dt

M

El momento total del sistema es:





M v CM   mi v i   p i  p tot

La aceleración del centro de masa es:


a CM 


dv CM
dt

1

M


dv i

1
 mi dt  M


 mi a i

De la segunda ley de Newton:





M a CM   mi a i   Fi   Fi internas   Fi externas
Tomando en cuenta la 3era. Ley de Newton:



dp tot


F

M
a


F

M
a
 i ext
CM
ext
CM
dt



F ext  M a CM ( 2  Ley de Newton para un Sistemas de Particulas )
El centro de masa se mueve como una partícula imaginaria de masa M
bajo la influencia de la fuerza externa resultante sobre el sistema.Conservación del momento lineal.
Del resultado de las fuerzas exteriores que actúa sobre un sistema de
partículas es nula, el momento lineal se conserva


Si : F
Entonces

ext



dP 
 0
0
dt


P  constante
" Ley de la Conservación del Momento Lineal "

Tarea 1
La figura muestra una polea fija de masa despreciable y sin roce
de la cual penden 2 partículas de masasm1 y m2 (m2 > m1),
unidas por una cuerda liviana e inextensible. Calcule la
aceleración de cada partícula, la tensión de la cuerda y la
aceleración del centro de masa del sistema de partículas.

Tarea 2
La figura muestra un sistema formado por dos partículas cuyas
masas son m1 = 10kg, m2 = 6kg. Las fuerzas netas que actúan


sobre cada una de ellas respectivamente F1  8iˆN y F2  6ˆjN .
Inicialmente el sistema se encuentra en reposo. Calcule en
función del tiempo las coordenadas del centro de masa y el
momento lineal total.

Tarea 3
Una granada inicialmente en reposo, estalla en 3 pedazos de
masas m1, m2 y m3 cuyas velocidades son respectivamente:

Determine la relación entre sus masas

Tarea 4
Se lanza un proyectil de 3 kg de masa, con un ángulo de 30° sobre lahorizontal y con una velocidad de 120 m/s. En la parte superior de su
trayectoria, explota en dos partes de 1 kg y otro de 2 kg. El fragmento de 2 kg
cae al suelo directamente debajo del punto de explosión, 3,6 s después de
que esta se ha verificado (a) Determine la velocidad del fragmento de 1 kg
inmediatamente después de la explosión. (b) Determine la distancia entre el
punto del disparo yel punto en el cual el fragmento de 1 kg choca contra el
suelo ( c) Determinar la energía liberada por la explosión

V1

y

V2

Vo  120

m
s

o

30

x

Energía Cinética de un Sistema de Partículas
La energía de un sistema de partículas es la suma de las partículas individuales.

1
1  
2
EC   Ec   mv ·   m(v .v )
i
i i
2
2
i
i
i
i
La velocidad de lapartícula i puede expresarse como la suma de la velocidad de
centro de masa VCM y la velocidad de la partícula relativa al centro de masa Ui

 

vi  vCM  u i
Desarrollando se tiene

EC  
i

m 2 
v v
2
i

CM

CM

1

2
m
u


 mu
i i i
2 i i

.

 
simplificando la expresión ya que:  m u  0
i i
i

1
2
EC  MVCM
 ECrel
2

i

1
EC rel ...