Dinamica de poblaciones

DINAMICA DE POBLACIONES
Procesos: discretos y continuos

Ana Laura Merino Díaz, Vaitiare Padilla Palma, Ana Karen Cabrera López
M.C. Julio Hernández Juárez
Preparatoria Regional “Simón Bolívar”, C.P. 74200
jhernanjy@hotmail.com


Resumen

Un sistema dinámico es una manera de describir cómo cambia en el tiempo todos los puntos de un espacio dado. Así entonces, estudiar loscambios que ocurren en los fenómenos naturales implica señalar qué es lo que cambia, cómo, dónde, para qué y cuándo se efectúa el cambio. En este contexto, los sistemas dinámicos se clasifican en: Procesos discretos y continuos. En este trabajo, se analizan procesos como el crecimiento poblacional de algunas especies, por medio de ecuaciones en diferencia y ecuaciones diferenciales. Se identifican lassimilitudes y diferencias involucradas en estos procesos. Siendo esto la parte medular del trabajo.

1. Introducción
Un sistema dinámico es aquel que estudia el movimiento o cambio de los cuerpos o de las cosas. Los sistemas dinámicos no solo son específicos de determinadas disciplinas, puesto que se encuentran siempre que se describe algún cambio. Para analizar los cambios que ocurrenen los fenómenos naturales es importante especificar cómo se efectúan los cambios.
De acuerdo al tipo de cantidades que se utilizan para describir las variables, los sistemas dinámicos se clasifican en [1]:
1.-Procesos discretos. Si las variables utilizadas toman un número finito de valores.
2.-Procesos continuos. Si las variables utilizadas cambian gradualmente con el fenómeno cambiante aestudiar, o bien toman un número infinito de valores.
En biología, los procesos como el crecimiento poblacional de especies se analizan por medio de ecuaciones en diferencia y ecuaciones diferenciales.
El trabajo está organizado de la siguiente manera: en la Sec. 2 se presenta un modelo correspondiente a procesos discretos; la Sec. 3 muestra el mismo modelo mediante un proceso continuo; la Sec.4 muestra resultados gráficos de cada proceso; finalmente la Sec. 5 presenta las conclusiones que se desprenden de este trabajo.

2. Procesos discretos
Construir un modelo matemático [2] sencillo utilizando ecuaciones en diferencias [3] significa considerar una especie con una sola temporada de apareamiento (anual, mensual, semanal, diría, etc.). Si en esta especie cada hembra da origen ar0 hembras en promedio, mismas que sobreviven y tienen descendencia en la siguiente temporada, se tiene que
Nt+1=r0Nt2.1
Esta ecuación representa una ecuación en diferencia puesto que
Nt+1=fNt,
donde Nt es el número de hembras en la generación t
Nt+1 es el numero de hembras de la generación t+1
r0 es el numero de hembras producidas por generación (índice reproductivo).

Si el índicereproductivo con respecto a la unidad puede encontrarse en tres casos diferentes para el crecimiento poblacional como son:
r0>1 La población se incrementará.
r0=1 La población se mantendrá constante.
r0<1 La población decrecerá hasta extinguirse.

Evidentemente las poblaciones no crecen o decrecen conforme a un índice de multiplicación constante. En realidad el índice de natalidad disminuyeo el de mortalidad aumenta por diversas causas. En este contexto, la ecuación correspondiente es de la forma

Nt+1=1-BNt-NeqNt2.2

Si a este crecimiento poblacional le agregamos un factor adicional: los depredadores, mismo que altera el número de individuos de ambas especies, la ecuación correspondiente es

Nt+1=1-BNt-NeqNt-CNtPt2.3Pt+1=QNtPt

3. Procesos Continuos

Hablamos deprocesos continuos cuando las variables cambian gradualmente con el fenómeno a estudiar y no pueden estudiarse como procesos discretos en forma separada, si no que deben analizarse en forma continua, es decir, sin interrumpirse.

4.1 Una especie

Sea el número de individuos de una especie que vive en un sistema ecológicamente cerrado. Supongamos que en este sistema sólo existe esta...