Dinamica de un solido rigido

3. DINÁMICA DEL SÓLIDO RÍGIDO
3.1. Dinámica de la partícula
La segunda ley de Newton establece que en una partícula de masa constante m sobre la que actúa una fuerza F se verifica dp F= (3.1) dt donde p es el momento lineal que se define como el producto de la masa m por la velocidad v p = mv (3.2) Puesto que hemos supuesto la masa m constante, se verifica que d mv F= = ma dt donde a es laaceleración de la partícula.

(3.3)

El Teorema de conservación del momento lineal se deduce inmediatamente de la ecuación (3.1) y establece que cuando la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula es nula, el momento lineal p se conserva. El momento angular de una partícula alrededor de un punto O, denotado como L, se define como L = r×p (3.4) donde r es el vector que va desde Ohasta la partícula. Premultiplicando vectorialmente por r a ambos lados de la ecuación (3.3), obtenemos d mv r×F = N = r× (3.5) dt siendo N el momento de la fuerza F respecto de O. Esta ecuación se puede transformar teniendo en cuenta la identidad vectorial d d mv d mv (3.6) = r× ( r × mv ) = v × mv + r × dt dt dt donde el primer sumando es, obviamente, nulo. Por tanto, podemos reescribir la ecuación(3.5) como d dL (3.7) N= ( r × mv ) = dt dt Esta ecuación permite también establecer el Teorema de conservación del momento angular, que establece que cuando el momento de las fuerzas que actúan sobre una partícula es nulo, el momento angular L se conserva.

© Alejo Avello, Tecnun (Universidad de Navarra).

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Cap. 3: Dinámica del sólido rígido

3.2. Dinámica del sólido rígido
3.2.1.Ecuaciones de Newton
En este apartado consideraremos que un sólido rígido de masa total m está compuesto por un sistema continuo de partículas materiales de masa dm. Distinguiremos entre fuerzas externas, que actúan sobre las partículas y que son debidas a causas externas al sólido, y fuerzas internas o fuerzas de interacción entre las partículas, que impiden su desplazamiento relativo unas deotras. Llamaremos dFi a la suma total de las fuerzas internas ejercidas sobre una partícula por las partículas adyacentes y Fje a la fuerza exterior que actúa sobre la partícula j. A diferencia de las fuerzas internas, que actúan sobre todas las partículas del sólido, las fuerzas externas sólo actúan sobre unas cuantas partículas (aquéllas que llevan índice j). Podemos escribir la ecuación delmovimiento de una partícula sobre la que no actúa una fuerza exterior como
dFi = a dm

(3.8) (3.9)

y para una partícula sobre la que actúa una fuerza exterior1
dFi + Fje = a dm

Supondremos que las fuerzas internas cumplen la tercera ley de Newton (principio de acción y reacción) y que, por lo tanto, las fuerzas que se ejercen mutuamente dos partículas llevan la dirección de la recta que las uney son iguales y de signos contrarios. Sumando las ecuaciones del movimiento de todas las partículas que componen el sólido llegamos a
i e ∫V dF + ∑ Fj = ∫V a dm j

(3.10)

El primer sumando de la izquierda es cero, ya que las fuerzas internas se cancelan dos a dos. El segundo sumando es simplemente Fe , resultante de todas las fuerzas exteriores. Por último, teniendo en cuenta que la masa decada partícula es constante, podemos escribir

Fe = ∫V

d 2r dt 2

dm =

d2 dt 2

∫V r dm =

d2 dt 2

(m rG ) = m aG

(3.11)

donde rG es el vector que va del origen del sistema de referencia al centro de gravedad y aG es la aceleración del centro de gravedad.

1

La ecuación (3.9) no es rigurosa matemáticamente hablando, pues incluye una fuerza finita en una ecuación detérminos infinitesimales. Sin embargo, la pérdida de rigor matemático se ve compensada por una mayor claridad en la exposición.

© Alejo Avello, Tecnun (Universidad de Navarra).

Cap. 3: Dinámica del sólido rígido

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3.2.2. Ecuaciones de Euler
Tomemos momentos en las ecuaciones (3.8) y (3.9) respecto al centro de gravedad, lo que siguiendo la notación utilizada en la Figura 3.1 equivale...