Dinamica Del Cuerpo Rigido

5.1
Ecuaciones que definen la cinemática del cuerpo rígido traslación, rotación movimiento en el plano.


Concepto de cuerpo rígido

Entendemos por cuerpo rígido un sistema de partículas en el que la distancia entre dos cualesquiera de ellas permanece invariable en el transcurso del tiempo.
Los cuerpos sólidos que manejamos se deforman siempre, en mayor o menor grado, cuando estánsometidos a las acciones de las fuerzas; sin embargo, si éstas son suficientemente pequeñas, las deformaciones producidas son despreciables y, entonces, hablaremos de cuerpos rígidos o indeformables. La definición de sólido rígido es sólo conceptual, por cuanto que el sólido rígido, en todo rigor, no existe. En este sentido, el sólido rígido es sólo una idealización y extrapolación del sólido real, aligual que lo es la partícula o punto material.









Consideremos un sólido rígido y un sistema de coordenadas, xyz, como se muestra en la figura. Indicaremos por *ri y *rj los vectores de posición de dos puntos, Pi y Pj, del sólido; la condición geométrica de rigidez se expresa por:

〖|r ̅i - r ̅j |〗^2 _ (*ri - *rj) ・ (*ri - *rj) = cte.

Que es equivalente a |r ̅i - r ̅j | = cte.,ya que la raíz cuadrada de una constante es otra constante.

Movimiento de traslación

El movimiento de traslación es el más sencillo que puede realizar el sólido rígido. Desde un punto de vista geométrico, lo podemos definir del modo siguiente: Se dice que un sólido rígido se encuentra animado de un movimiento de traslación cuando todo segmento rectilíneo definido por dos puntos de aquélpermanece paralelo a sí mismo en el transcurso del movimiento.




Consideremos un sólido rígido animado de un movimiento de traslación, como se muestra en la figura. En virtud de la condición geométrica de rigidez, el vector rij = ri − rj debe mantener constante su módulo en el transcurso de cualquier movimiento y, además, en virtud de la definición geométrica del movimiento de traslación,también ha de mantener constante su dirección; entonces, siendo *c un vector constante, se puede escribir:

r ̅i - r ̅j = *c
y derivando con respecto al tiempo:

ri - rj = 0 ⟹ vi = vj

Constituyendo esta igualdad la condición cinemática del movimiento de traslación, esto es: Todos los puntos de un sólido rígido animado de un movimiento de traslación tienen, en cada instante, la mismavelocidad. Esa velocidad, común a todos los puntos del sólido, recibe el nombre de velocidad de traslación del sólido y debe ser considerada como un vector libre. Las mismas consideraciones pueden aplicarse a la aceleración. En consecuencia, una vez definido el movimiento de un punto cualquiera del sólido rígido que se traslada, tenemos definido el movimiento del sólido.
Otra característicaimportante del movimiento de traslación del sólido rígido es que las trayectorias recorridas por sus diversos puntos son congruentes, es decir, una se puede obtener mediante una translación de la otra. En efecto, consideremos de nuevo dos puntos cualesquiera, Pi y Pj , pertenecientes al sólido, y sean ri y rj sus vectores de posición con respecto a un cierto origen arbitrario O. Imaginemos undesplazamiento experimentado en una traslación del sólido, de modo que los vectores de posición de esos puntos, con respecto al mismo origen O, sean ahora r'i y r'j respectivamente. La condición geométrica de rigidez junto con la condición geométrica que define al movimiento de traslación, se expresa en la forma:

ri - rj = r^' i - r^' j ⇒ r^' i -r^' i = r^' i- r^' j ⇒ Δri = Δrj

De modo que eldesplazamiento experimentado por cada uno de los puntos del sólido durante un intervalo de tiempo _t es único. De este resultado, junto con la noción de la línea curva como límite de una poligonal y de la continuidad del movimiento, se sigue la congruencia de las trayectorias recorridas por los distintos puntos del sólido rígido. Es conveniente que insistamos en que el movimiento de traslación no...