Dinamica Del Robot

Dinámica de Robots

Automatización y Robótica Industriales

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Velocidades y Aceleraciones
Transformación de velocidades
A A A VP = AVpORG + B R BVP + A ΩB ×B R BP
A A ΩC = A ΩB + B R B ΩC

BΩ C

{C}
BP A ΩB

Transformación de Aceleraciones
A A A & & & VP = AVpORG + B R BVP +2 A ΩB ×B R BVP + A & A + A ΩB ×B R BP+ A ΩB ×( A ΩB ×B R BP)

{B} {A}
AP

ZA

ZB
AP ORG

xBYB

A

A & & A & ΩC = A ΩB + B R B ΩC + A ΩB ×B R B ΩC

xA
YA

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Tensor de Inercia
Descripción de la distribución de masas de un objeto respecto a un marco de referencia dv
AP

 I xx − I xy − I xz    A I = − I xy I yy − I yz  − I xz − I yz I zz   
I xx = I yy = I zz =

ZA

{A}

xA
xy ρ dv xz ρ dv yz ρ dv
YA

∫∫∫ ( y
V

2

+ z ) ρ dv
2

I xy = I xz = Iyz

∫∫∫
V

∫∫∫ ( x
V

2

+ z ) ρ dv
2

∫∫∫
V

∫∫∫ ( x
V

2

+ y 2 ) ρ dv

=

∫∫∫
V

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Formulaciones del modelo dinámico de un Robot
■ Formulación de Lagrange-Euler – Poca eficiencia computacional: O(n4) (n=nº GDL) – Ecuaciones finales bien estructuradas ■ Formulación de Newton-Euler – Procedimiento recursivo – Basado en operaciones vectoriales – Ecuaciones pocoestructuradas – Mayor eficiencia computacional: O(n) ■ Otras formulaciones 4

Formulación de Newton-Euler
■ Ecuación de Newton ■ Ecuación de Euler
& F = mvC & N =CIω + ω×C Iω

F

N

■ Procedimiento Iterativo 1) Hacia fuera calculando velocidades y aceleraciones lineales y angulares 2) Hacia dentro calculando pares y esfuerzos en las articulaciones 5

1.- Recursión hacia fuera
VelAngular Acel. Angular
i

& ˆ ωi =i−1iRi−1ωi−1 + θi i Zi

i= 0, 1, 2,... ,n-1
Articulación Rotación

i

& ˆ & ˆ & & ωi =i−1iRi−1ωi−1 +i−1iRi−1ωi−1 ×θi i Zi + θ&i i Zi
& & ωi =i−1iRi−1ωi−1
Articulación Prismática

i

i

Acel. Lineal
(Origen Sist. Referencia)

& & & vi =i −1iR [i −1ωi −1×i −1Pi +i −1ωi −1 ×(i −1ωi −1×i −1Pi )+i −1vi −1 ]

Articulación Rotación ArticulaciónPrismática
i

i

& & & vi =i−1iR [i−1ωi −1×i−1Pi +i−1ωi−1 ×(i−1ωi−1×i−1Pi )+i−1vi−1 ] + & ˆ && ˆ +2i ω × d i Z + d i Z
i i i i i

Acel. Lineal
(Centro de Masas)

i

& & & vCi = ωi × PCi + ωi ×( ωi × PCi )+ vi
i i i i i i

ωi

2.- Recursión hacia dentro
fi = Fuerza ejercida por el enlace i -1 en el i ni = Par ejercido por el enlace i -1 en el i
Fuerzas Pares
i

i= n, n-1, ... 1
ifi = R fi +1 + Fi
i i +1 i

i +1

& Fi = mi i vCi

i

ni =iNi +i +1iRi +1ni +1 +iPCi ×i Fi +iPi +1×i +1i Ri +1fi +1

i

& Ni =Ci Ii iωi +iωi ×Ci Ii iωi

Fuerzas/Pares Requeridos

ˆ τ i =i niT i Zi ˆ τ i =ifiT i Zi

Articulación Rotación Articulación Prismática

Fi n i Ni

fi

ni−1

fi−1

Formulación de Lagrange
Formulación de ecuaciones en términos energéticos ■Energía cinética del enlace i
1 1 i T Ci i T ki = mi vCi vCi + ωi Ii ωi 2 2

vC i
n i =1

ωi

Total k = ∑ ki

■ Energía potencial del enlace i
ui = −mi 0 g T 0 PCi + uref

Total u = ∑ui
i =1

n

Ecuaciones de Movimiento

d ∂k ∂k ∂u τ= & − ∂θ + ∂θ dt ∂θ
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Formulación de Lagrange: Estructura de las ecuaciones
Las ecuaciones pueden expresarse

d ∂k ∂k ∂u τ= − + & dt ∂θ ∂θ ∂θ& & & τ = M (θ )θ& + V (θ ,θ ) + G(θ ) + F (θ )

τ = Fuerzas/Pa res generalizados en las articulaci ones
& θ , θ&, θ& = Coordenada s generalizadas y derivadas M (θ ) = Matriz de Inercia (Simétrica ) & V(θ , θ) = Vector de términos de Coriolis - Centrifugo s G(θ ) = Vector de términos gravitator ios & F (θ ) = Vector de fuerzas de rozamiento
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Ecuaciones dinámicas: Ejemplo
Ejemplo paraun robot manipulador Industrial: Robot RM10

Para un robot “Real” las ecuaciones dinámicas pueden ser considerablemente complejas

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Modelo Dinámico Directo
&& & & τ = D ( q )q + C ( q, q )q + G ( q )
Ecuaciones de la forma

Ecuaciones como función de 26 constantes:

Modelo Dinámico Directo
Más constantes:

Modelo Dinámico Directo
Más constantes:

Modelo Dinámico Directo...