Dinamica estructural

Análisis Estructural - 2007 Trabajo práctico de dinámica estructural: Respuesta sísmica de edificios

Enunciado
Se tiene un edificio de dos plantas, conformado por losas alivianadas apoyadas en vigas de 25x50 cm, las cuales se encuentran a su vez soportadas por columnas de 25x25 cm de hormigón armado. Se estima que el módulo elástico del hormigón es de 3x106 t/m2 y que el peso de cada losa,con la correspondiente fracción de la sobrecarga de diseño a ser considerada durante un evento sísmico, es de 22 toneladas. Las columnas se encuentran fundadas mediante pilotes de 80 cm de diámetro, vinculados mediante vigas de fundación, por lo que se considera que las mismas se encuentran empotradas a una profundidad efectiva de 25 cm por debajo del nivel inferior.

0.5 m 2.65 m 0.5 m 2.65 m 0.5m

x

0.25 m

4.5 m

0.25 m

Figura 1. Esquema de la estructura a analizar Se pide determinar para el evento sísmico de diseño: 1) desplazamientos relativos máximos 2) diagramas de esfuerzos (momento, corte y normal) El evento sísmico de diseño se encuentra caracterizado por un espectro de respuesta elástico, dado en la Figura 2. Se considera que el mismo actúa solamente en la dirección“x”. El método a utilizar es superposición modal espectral, con combinación cuadrática para los distintos modos.

Análisis Estructural - 2007 Trabajo práctico de dinámica estructural: Respuesta sísmica de edificios 11 tn EI=977 t m2 11 tn EI=977 t m2 2 Sa 0.3 1 2.9 m 0.1 0.4 1.2

2.9 m

T (s)

4.75 m

Figura 2. Modelo de cálculo y espectro de diseño

Procedimiento
1) 2) 3) 4) 5) 6)7) Desarrollo de modelo de cálculo Determinación de modos y frecuencias naturales Determinación de factores de participación modal Determinación de coordenadas modales máximas Determinación de desplazamientos relativos máximos Determinación de fuerzas de inercia máximas Diagramas de esfuerzos.

1) Modelo de cálculo
Dado que se analiza el comportamiento del edificio en una sola dirección, puedeconsiderarse solamente un pórtico con la mitad de la masa (Figura 2). Se considera que las vigas son lo suficientemente rígidas como para ser consideradas infinitamente rígidas frente a las columnas. Por último, se considera que las columnas tienen rigidez axial infinita, por lo que el problema puede ser modelado mediante dos grados de libertad dinámicos, consistentes en los desplazamientoslaterales de los pisos 1 y 2. La matriz de rigidez condensada puede obtenerse mediante procedimientos matriciales a partir de la matriz de rigidez de la estructura. Sin embargo, en este caso es obtenida mediante la definición de matriz de rigidez, es decir obteniendo las reacciones para desplazamientos unitarios. El procedimiento está esquematizado en la Figura 3, donde puede verse que la matriz derigidez resulta:

Análisis Estructural - 2007 Trabajo práctico de dinámica estructural: Respuesta sísmica de edificios

 48⋅ E⋅ I − 24E⋅ I   3 3 h   h K :=  24E⋅ I 24E⋅ I  − 3 3 h  h 

K=

 1921.973 −960.987 t   −960.987 960.987  m

12EI/h3

2

12EI/h3

K21 = - 24EI/h3

1

12EI/h3 12EI/h3

12EI/h3 12EI/h3

K11 = +48EI/h3

12EI/h3

2

12EI/h3

K22 = +24EI/h3

12EI/h

3

12EI/h

3

K12 = - 24EI/h3

Figura 3. Determinación de la matriz de rigidez condensada La matriz de masa, por otra parte, es obtenida dividiendo los pesos por la gravedad:
M := 

 11 0  ⋅ t  0 11  g

M=

 1.122 0  t⋅ sec  0 1.122  m

2

2) Determinación de frecuencias y modos naturales
En primera instancia, se determinan las frecuencias naturalesresolviendo la ecuación característica que resulta de igualar el determinante de K-ω2M a cero:

Análisis Estructural - 2007 Trabajo práctico de dinámica estructural: Respuesta sísmica de edificios
2 4  1921.973 −960.987 − ω2⋅  1.122 0  0 923521 − 3235⋅ ω + 1.2589ω ⋅ 0    −960.987 960.987   0 1.122  La soluciones de la ecuación bi-cuadrática son las frecuencias naturales del primer...