Dinamica examen U5 y U6

U5. Cinética de los cuerpos rígidos

5.1
Introduccion
Un cuerpo rígido se puede entender como una distribución continua de materia que se subdivide en pequeños elementos arbitrarios de volumen y masa, que son las partículas del sistema. El movimiento general de un cuerpo rígido es entonces un caso particular del movimiento de un sistema de partículas unidas rígidamente entre sí.
Engeneral, un sólido en el espacio tiene seis grados de libertad, es decir, su configuración queda determinada unívocamente por seis coordenadas independientes. La posición de un punto O en el cuerpo queda especificada por sus tres coordenadas en un sistema fijo. Para especificar la orientación del cuerpo en el espacio se requieren tres coordenadas adicionales. En este capítulo se estudia laforma de especificar la orientación. Entre muchos sistemas utilizados para este fin, uno de los más simples es el de los Angulos de Euler.

5.2.
Ecuaciones de movimiento de un cuerpo rígido
El movimiento de un cuerpo rígido en el espacio sigue las leyes generales enunciadas para sistemas de partículas. Se estudia por separado el movimiento traslacional y el movimiento rotacional. El movimiento detraslación del cuerpo corresponde al movimiento del centro de masa. El movimiento de rotación corresponde al movimiento con respecto al centro de masa.
Movimiento del Centro de Masa:
El centro de masa se mueve como una partícula de masa igual a la masa total M del solido, sometido a la fuerza externa neta F. La ecuación del movimiento traslacional del centro de masa es : F = MA
donde A esla aceleración del CM medida con respecto al origen de un sistema inercial.
Movimiento en torno al Centro de Masa:
El movimiento en torno al centro de masa se describe mediante la ecuación general del movimiento angular para un sistema de partículas: τ c = H c
donde τc es el torque externo neto ejercido sobre el sistema, medido con respecto al centro de masa y Hc es el momento angular delsistema con respecto al centro de masa.



Ejemplos:

1.- Una esfera homogénea de masa m y radio R rueda sin deslizar por un plano inclinado con un ángulo β.
Datos: β = 30o; m = 0.5 kg; R = 15 cm; L = 2.5 m; ICM = (2/5)mR2.



a) Dibujar las fuerzas que actúan sobre la esfera y expresar las ecuaciones de la dinámica de rotación y de traslación.
b) Calcular la aceleración del centrode masas, la aceleración angular con respecto al centro de masas y la fuerza de rozamiento.
c) Si inicialmente se encontraba en reposo, calcular la velocidad del CM y la velocidad angular de rotación cuando ha rodado por el plano una longitud L.




a)

b)



c)








2.- Un listón homogéneo de longitud L = 2 m y masa m = 1 kg está clavado en la pared por supunto medio (O), de forma que puede girar libremente en torno a ese punto. Sobre él se aplican las fuerzas F1 = F2 = 4 N y F3 = 6 N, según la figura.
Dato: ICM = (1/12) m L2



a) Determinar el valor de d para que el listón esté en equilibrio estático, así como el valor de la normal en el punto O.

b) Si se duplica el módulo de F3 y d = 0.75 m, determinar la aceleraciónangular α del listón en función del ángulo θ que barre, suponiendo que las fuerzas son siempre verticales.





a)

b)


5.3.
Momento angular de un cuerpo rígido en el plano
Consideremos un sólido de forma arbitraria que rota con velocidad angular ω con respecto a un eje Z que, para simplificar, consideraremos fijo con respecto a un sistema de referencia inercial, tal y como se muestra enla siguiente figura:


Cada partícula del sólido describe un movimiento circular con velocidad angular ω y su momento angular calculado con respecto al origen O viene dado por:


El momento angular del sólido con respecto a O es simplemente el momento angular de un sistema de partículas, es decir, la suma de los momentos...