Dinamica Modal Espectral

Análisis Estructural - 2009
Trabajo práctico de dinámica estructural: Respuesta sísmica de edificios

Enunciado
Se tiene un edificio de dos plantas, conformado por losas alivianadas apoyadas en vigas de
25x50 cm, las cuales se encuentran a su vez soportadas por columnas de 25x25 cm de
hormigón armado.
Se estima que el módulo elástico del hormigón es de 3x106 t/m2 y que el peso de cada losa,
conla correspondiente fracción de la sobrecarga de diseño a ser considerada durante un
evento sísmico, es de 22 toneladas.
Las columnas se encuentran fundadas mediante pilotes de 80 cm de diámetro, vinculados
mediante vigas de fundación, por lo que se considera que las mismas se encuentran
empotradas a una profundidad efectiva de 25 cm por debajo del nivel inferior.

0.5 m
2.65 m

0.5 m
2.65 m
0.5 mx

0.25 m

4.5 m

0.25 m

Figura 1. Esquema de la estructura a analizar
Se pide determinar para el evento sísmico de diseño:
1) desplazamientos relativos máximos
2) diagramas de esfuerzos (momento, corte y normal)
El evento sísmico de diseño se encuentra caracterizado por un espectro de respuesta elástico,
dado en la Figura 2. Se considera que el mismo actúa solamente en la dirección “x”. Elmétodo a utilizar es superposición modal espectral, con combinación cuadrática para los
distintos modos.

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Trabajo práctico de dinámica estructural: Respuesta sísmica de edificios
11 tn

1

EI=977 t m2

Sa

2.9 m
0.3

11 tn

2

EI=977 t m2

2.9 m

0.1
0.4

1.2

T (s)

4.75 m

Figura 2. Modelo de cálculo y espectro de diseño

Procedimiento
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)

Desarrollo demodelo de cálculo
Determinación de modos y frecuencias naturales
Determinación de factores de participación modal
Determinación de coordenadas modales máximas
Determinación de desplazamientos relativos máximos
Determinación de fuerzas de inercia máximas
Diagramas de esfuerzos.

1) Modelo de cálculo




Dado que se analiza el comportamiento del edificio en una sola dirección, puede
considerarsesolamente un pórtico con la mitad de la masa (Figura 2).
Se considera que las vigas son lo suficientemente rígidas como para ser consideradas
infinitamente rígidas frente a las columnas.
Por último, se considera que las columnas tienen rigidez axial infinita, por lo que el
problema puede ser modelado mediante dos grados de libertad dinámicos, consistentes
en los desplazamientos laterales de lospisos 1 y 2 (se invierte la numeración a fines
prácticos).

La matriz de rigidez condensada puede obtenerse mediante procedimientos matriciales a
partir de la matriz de rigidez de la estructura. Sin embargo, en este caso es obtenida
mediante la definición de matriz de rigidez, es decir obteniendo las reacciones para
desplazamientos unitarios. El procedimiento está esquematizado en la Figura 3, dondepuede verse que la matriz de rigidez resulta:

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 24 E I  24E I 
 3
3 
h
h 

K 
 24E I 48E I 
 3
3 
h
 h


12EI/h3

12EI/h3

12EI/h3
12EI/h3

12EI/h

12EI/h3
12EI/h3

1

K22 = +48EI/h3

K11 = + 24EI/h3

K21 = - 24EI/h3

3

12EI/h

2

 t

K12 = - 24EI/h3

12EI/h3

3

960.9873
 960.987 1.922  10  m

12EI/h3

1

2

 960.987

K

Figura 3. Determinación de la matriz de rigidez condensada
La matriz de masa, por otra parte, es obtenida dividiendo los pesos por la gravedad:
 11 0   t

 0 11  g

M  

 1.122 0  t sec

 0 1.122  m

2

M

2) Determinación de frecuencias y modos naturales
En primera instancia, se determinan las frecuencias naturalesresolviendo la ecuación
característica que resulta de igualar el determinante de K-2M a cero:

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 960.987 960.987 
2  1.122 0 
2
4
  

 1.2589

0

 0 923521  3234.7
3
 0 1.122 
 960.987 1.922  10 
La soluciones de la ecuación bi-cuadrática son las frecuencias naturales del...