Dinamica

F´ ısica I. Curso 2010/11
Departamento de F´ ısica Aplicada. ETSII de B´jar. Universidad de Salamanca e Profs. Alejandro Medina Dom´ ınguez y Jes´ s Ovejero S´nchez u a

´ ´ Tema 5. Dinamica de la rotacion
´ Indice
1. Cuerpo r´ ıgido, traslaci´n y rotaci´n o o 2. Energ´ cin´tica rotacional. Momento de inercia ıa e 3. C´lculo de momentos de inercia a 3.1. Sistemas discretos . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Sistemas continuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Teorema de los ejes paralelos (Steiner) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Momento angular 5. Segunda ley de Newton para la rotaci´n o 3 3 5 5 6 9 9 11

5.1. Part´ ıcula unica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 11 ´ 5.2. Sistemas de part´ ıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 6. Conservaci´n del momento angular y sus aplicaciones o 7. Analog´ entre las ecuaciones de la traslaci´n y la rotaci´n ıas o o 8. Problemas 15 17 18

Tema 5. Din´mica de la rotaci´n a o

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Tema 5. Din´mica de la rotaci´n a o

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1.

Cuerpo r´ ıgido, traslaci´n yrotaci´n o o
En los temas anteriores hemos estudiado unicamente movimientos de traslaci´n para part´ ´ o ıcu-

las y sistemas de part´ ıculas. Hemos definido el centro de masas como aquel punto que se comporta como si todas las fuerzas que act´an sobre el sistema se concentraran en ´l. El movimiento u e de un cuerpo extenso se puede describir en t´rminos del movimiento traslacional de su centro e demasas y del movimiento de los puntos del sistema respecto al centro de masas (por ejemplo, respecto a un eje que pasa por ´l). Para completar, por lo tanto, el estudio del movimiento de e un cuerpo extenso nos falta estudiar esta ultima parte. Veremos que el estudio de este tipo de ´ movimiento rotacional es an´logo al traslacional, pero introduciendo nuevas magnitudes f´ a ısicas que siempre tienensu equivalente lineal. Por ejemplo, si la ecuaci´n de movimiento del centro de o masas de un cuerpo relaciona aceleraci´n con fuerzas externas, la de la rotaci´n, como veremos, o o relaciona otro tipo de aceleraci´n (angular ) con el momento de las fuerzas aplicadas. o La principal hip´tesis simplificadora en el estudio de movimientos rotacionales suele ser la o ´ consideraci´n del objeto aestudiar como un cuerpo r´gido. Este es aquel sistema en que la o ı distancia entre dos puntos cualquiera no var´ con el tiempo. Es un sistema que no se deforma. ıa Consideraremos que un cuerpo r´ ıgido describe un movimiento de rotaci´n cuando cada una de o sus part´ ıculas (salvo las que est´n sobre el eje) realiza un movimiento circular. a El movimiento m´s general de un cuerpo r´ a ıgido tiene lugarcuando el eje de rotaci´n cambia o de direcci´n al mismo tiempo que se traslada. Esto sucede, por ejemplo, en un pase de f´tbol o u con efecto: el eje no s´lo cambia de posici´n en el tiempo, sino que tambi´n var´ su orientaci´n. o o e ıa o En este tema restringiremos nuestra discusi´n a la rotaci´n de un cuerpo r´ o o ıgido respecto a un eje que no cambia de orientaci´n. o

2.
figura.Energ´ cin´tica rotacional. Momento de inercia ıa e
Consideremos un s´lido r´ o ıgido rotando con velocidad angular ω, tal y como muestra la

Tema 5. Din´mica de la rotaci´n a o

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z ω

vi i ri O x

y

Su energ´ cin´tica se puede expresar como la suma de las energ´ cin´ticas de todos los ıa e ıas e puntos que lo componen:
n

Ec =
i

1 1 2 mi vi = 2 2

n 2 mi ri ω 2 . i

Como ω esigual para todos los puntos: Ec = Si denominamos I a la magnitud
i

1 2

2 mi ri ω 2 . i

2 mi ri , obtenemos una ecuaci´n para la energ´a cin´tica de o ı e

la rotaci´n similar a la de la traslaci´n: o o 1 Ec = Iω 2 . 2 La magnitud I se denomina momento de inercia del sistema y como iremos comprobando en este tema constituye de alg´n modo, la magnitud equivalente en din´mica de la...