Dinamica

9. Gravitación

9. GRAVITACIÓN
La Ley Universal de la Gravitación Desde la más remota antigüedad se sabe que los cuerpos caen porque una fuerza los atrae hacia abajo: el peso. Sin embargo pasó mucho tiempo hasta que los físicos lograron unificar la explicación de este fenómeno tan familiar con la del movimiento de los cuerpos celestes (Luna, Sol y planetas), que también se conocía desde laantigüedad pero cuya causa última se ignoraba. El primer avance importante se debió a Galileo, quien observó que si se descuentan los efectos de la resistencia del aire, cerca de la superficie de la Tierra todos los cuerpos caen con la misma aceleración g, cualquiera sea su tamaño y el material que los compone. De acuerdo con la II Ley de la Dinámica
F = ma

(9.1)

luego si todos los cuerposcaen con igual aceleración la fuerza que la provee, es decir el peso, debe ser proporcional a su masa, o sea F = P ~ m . La constante de proporcionalidad no puede ser otra que g, luego

P = mg

(9.2)

La (9.1) y la (9.2) son formalmente semejantes, pero expresan conceptos muy diferentes. La II Ley dice que la aceleración es proporcional a la fuerza (que se supone conocida como dato delproblema) e inversamente proporcional a la masa, lo que implica que la masa es una medida de la inercia. En cambio la (9.2) establece un hecho nuevo no contenido en la II Ley: que el peso es proporcional a la masa, es decir que el origen del peso está en la masa. Este resultado no es trivial, ni es consecuencia de las tres leyes de la Dinámica: es un hecho experimental nuevo que proviene de la observaciónde Galileo. En efecto, combinando (9.1) y (9.2) se obtiene

a=g

(9.3)

independientemente de la masa y de los materiales que componen los cuerpos. Ser proporcional a la masa es la característica distintiva de la fuerza gravitatoria y de las fuerzas inerciales. Ninguna otra fuerza de la naturaleza es proporcional a la masa, por ejemplo las fuerzas eléctricas son proporcionales a la cargaeléctrica. El siguiente progreso se debió a Newton, quien especuló que si todos los cuerpos son atraídos por la Tierra con una fuerza proporcional a su masa, la Luna también es atraída por la Tierra con una fuerza del mismo tipo y esa es la causa de su movimiento. Su razonamiento fue en esencia el siguiente: si arrojamos horizontalmente una piedra con velocidad v la piedra cae a una cierta distancia,si la arrojamos con una velocidad mayor llega más lejos; si seguimos aumentando la velocidad llegará el momento en que la piedra no tocará nunca el suelo sino que dará vueltas y vueltas alrededor de la Tierra (Fig. 9.1a). Obsérvese que la piedra está cayendo (aunque su distancia al suelo no disminuye) pues si no fuera acelerada se movería con movimiento rectilíneo y uniforme1. Newton pensóentonces que a la Luna le sucede lo que a la piedra de nuestro imagi-

1

Desde luego todo este razonamiento vale si se ignora la resistencia del aire, que frena la piedra.

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9. Gravitación nario experimento: es atraída por la Tierra debido a su peso y cae continuamente en la medida necesaria para mantenerse aproximadamente a la misma distancia (Fig. 9.1b).
Luna v 1 2 3 vL aL

3

rLrT Tierra

(a)

(b)

Fig. 9.1. (a) Una piedra lanzada horizontalmente cae a la superficie tanto más lejos cuanto mayor es su velocidad; si la velocidad inicial es suficiente no llega nunca a la superficie. (b) La Luna cae hacia la Tierra pero se mantiene (aproximadamente) a la misma distancia. Calculemos la aceleración de la Luna. Si su movimiento fuera circular con un radio rL , laaceleración hacia la Tierra (centro de la órbita) sería la correspondiente aceleración centrípeta

aL =
Si TL es el período de revolución de la Luna,
vL =

2 vL rL

(9.4)

2π rL TL

(9.5)

Luego la aceleración de la Luna es

aL = gL =

4π 2 rL 2 TL

(9.6)

Con igual razonamiento se obtiene que cuando la piedra describe una órbita circular

a=

v2 =g rT

(9.7)

Como rT ≈...