Dinamica

Practica 3 Propagación de Incertidumbres

Medición indirecta. Incertidumbres en cantidades calculadas




En la práctica anterior nos hemos ocupado solamente del concepto de incertidumbre de una magnitud que medimos directamente. Sin embargo, generalmente el proceso de medición es indirecto, es decir, el resultado que deseamos es una combinación de dos o más magnitudes, o es por lomenos una función calculada a partir de una sola magnitud. Por ejemplo, supóngase que se quiere determinar el volumen de un cilindro midiendo su radio y su altura, o el volumen de una esfera midiendo su radio. Las incertidumbres asociadas con las magnitudes medidas directamente se propagan al resultado de la medida final. Nuestro objetivo ahora es mostrar cómo hallar la incertidumbre de magnitudesrelacionadas con otras magnitudes medidas directamente a partir de las incertidumbres de estas últimas.


Supongamos primero que queremos saber el error de una magnitud [pic] que es el producto de una constante por una magnitud que medimos [pic], con su respectiva incertidumbre[1] [pic] . O sea, [pic] con [pic] constante (un ejemplo de esto es la relación del perímetro del círculo p con sudiámetro d de la forma [pic]). En este caso el error [pic] será


[pic]


Supongamos ahora que queremos medir una cierta magnitud z que depende de las magnitudes x e y (cuyas incertidumbres son [pic]y [pic], respectivamente) de la forma [pic]. Recordamos de cursos de laboratorio en secundaria que en este caso el error δz se puede calcular como


[pic].[1]


Si la dependencia fuera de la forma z=x-y, el error sería también


[pic] . [2]


Supongamos ahora que queremos hallar el error del producto z=xy. En este caso el error lo podemos escribir como


[pic]. [3]


Si fuera, en cambio, [pic] el errorsería


[pic] [4]


Notemos que estas relaciones tienen mucho que ver con las fórmulas de derivadas para las respectivas dependencias funcionales. Esto lo podemos ver escribiendo la dependencia [pic] como caso particular en donde [pic]. Supongamos entonces que [pic]. Según la fórmula [3] el error [pic] será


[pic].


Esta fórmula lapodemos obtener hallando[2] [pic] O sea, las formulas [1], [2], [3] y [4] se deducen a partir de las derivadas parciales de [pic]respecto a [pic] e [pic].





Ejemplos de propagación de errores





(a) Supongamos que deseamos medir el área [pic] de un rectángulo a partir de las medidas directas de su largo [pic] y de su ancho [pic].


Según lo anterior, la incertidumbre absolutaen la medida del área,[pic] debido a las incertidumbres absolutas [pic] y [pic] en las medidas del largo y del ancho respectivamente, será:


[pic]


[pic]


La incertidumbre relativa[3] en la medida del área será:





[pic]


(b) Si deseamos medir el volumen de un cilindro realizando las medidas directas de su diámetro [pic] y de su altura [pic], la incertidumbre absoluta enla medida del volumen será:


[pic]


[pic]


Donde [pic] y [pic] son las incertidumbres absolutas en las medidas del diámetro y la altura respectivamente.


(c) Supongamos que necesitamos hallar el volumen de un paralepípedo rectángulo cuyas dimensiones son: [pic] largo, a ancho, [pic] altura. Para ello se procede a tomar cinco medidas para cada una de estas dimensiones, con unaregla graduada hasta milímetros. Los datos están consignados en la siguiente tabla:



|Dimensión |
|LARGO (cm) |9,23 |9,25 |9,22 |9,30 |9,18 |
|ANCHO (cm) |4,32 |4,38 |4,35 |4,35 |4,34 |
|ALTURA (cm) |6,54 |6,50 |6,48 |6,52 |6,46 |...