dinamica

3.1.2 Ecuaciones de movimiento
El movimiento de un cuerpo está completamente definido si se puede determinar la posición de cualquier punto perteneciente a él en cualquier tiempo. A continuación se presentarán para cada tipo de movimiento las relaciones matemáticas que permiten definir el movimiento de un cuerpo con base en los conceptos explicados con anterioridad.
Traslación
Consideremosdos puntos A y B de un cuerpo en traslación, [Fig. 3-5]

La posición de A y B con respecto a un sistema xy de referencia se representan por medio de los vectores de posición   y  respectivamente, y la posición de B con respecto de A por 

 .  Como   se tiene  que
Figura 3-5

 
 
Donde   ,   y   representan las derivadas con respecto del tiempo de los vectores  ,   y  respectivamente. Puesto que en un movimiento de traslación   no varía entonces   es cero; por consiguiente

y como  , en traslación

[3-1]
Es decir, en traslación, todos los puntos de un cuerpo tienen la misma velocidad.
De otra parte, la aceleración de B es:

 
 
 
 
donde  ,   y  representan la segunda derivada con respecto del tiempo de los vectores  ,  y   respectivamente.  Como   es cero, entonces[3-2]
 
Entonces, en traslación las aceleraciones  de todos los puntos de un cuerpo también son iguales.
De las consideraciones anteriores con respecto a  , se puede postular que las derivadas respecto al tiempo de un vector que pertenece a un cuerpo en traslación son cero


Movimiento alrededor de un eje fijo
Sin perder generalidad supongamos que el eje de rotación es el eje z.  Sea A unpunto del cuerpo rígido y   su vector de posición, [Fig. 3-6].  Como se sabe, la velocidad de A,  , es tangente a la trayectoria y ésta está contenida en un plano perpendicular al eje de rotación.  El desplazamiento angular de la recta OA se denota por   y su velocidad angular por  .


(a) 
(b)
Figura 3-6
 
Al vector contenido en el eje de rotación  , se le define como el vector velocidadangular. Si la rotación es en sentido antihorario vista desde el eje positivo, el vector velocidad angular se considera positivo, de otra forma es negativo. Cuando se considera una lámina representativa del cuerpo en rotación, [Fig. 3-6b]   sale del plano si es positivo y entra si es negativo; como de cualquier manera el vector se ve como un punto, la velocidad angular se representa por medio de unarco circular indicando con una cabeza de flecha el sentido de rotación. Sin embargo no se debe perder de vista que el vector velocidad angular entra o sale del plano del dibujo.
Volviendo a la figura 3-6a y recordando que la velocidad de A es

y teniendo en cuenta que  se tiene que:

Notando que   y que la dirección de   coincide con la dirección del vector   ; se define vectorialmente lavelocidad de A como

[3-4]
puesto que también
  
se puede generalizar que la derivada de un vector   que pertenece a un cuerpo que rota alrededor de un eje fijo es

[3-5]
La aceleración de A es por definición

de la ecuación [3-5],   entonces

[3-6]
donde   es la aceleración angular del cuerpo.
El vector aceleración angular tiene el mismo sentido de la velocidad angular si ésta aumenta ysentido contrario si tiende a disminuir.  La ecuación [3-6] expresa que la aceleración de una partícula que pertenece a un cuerpo que rota alrededor de un eje fijo tiene dos componentes: una tangencial  y una normal  . Las magnitudes de estas componentes son respectivamente

[3-7]
Donde res la distancia perpendicular de la partícula al eje de rotación.
Ambas componentes están en el plano delmovimiento.  Esta es la razón por la cual el movimiento se puede considerar como un movimiento en el plano.

 
Movimiento plano general
Como se mencionó anteriormente, el movimiento plano general es la combinación de una traslación y una rotación alrededor de un punto (intersección del eje con el plano de movimiento) arbitrariamente seleccionado.
Entonces de acuerdo a la figura 3-7, para...