Dinamica

Serie 1 Cinemática y Dinámica || Semestre 2008-1

1. Una partícula se mueve siguiendo la ley vectorial , donde t es en segundos. Determine las magnitudes de la velocidad y la aceleración de la partícula cuando . Además determine la ecuación de la trayectoria que sigue la partícula.

Solución:
Tenemos una partícula toda loca que se anda moviendo como estúpida de acuerdo a una ecuación que nosdan. Lo primero que hay que notar es que la ecuación de movimiento tiene componentes i y j, pero no tiene componentes k, lo cual significa que se mueve en dos dimensiones, es decir, en el plano xy, por lo que se puede representar como sigue:

, donde y .

Recordando que la velocidad y la aceleración son derivadas de la posición, es decir, y , uno se da cuenta de que para obtener la velocidad yla aceleración hay que derivar, con respecto al tiempo, una y dos veces, respectivamente, la ecuación de movimiento:

, .
, .

Por lo tanto:
, y .
Por lo que, para :

y .

Bueno, la fórmula para sacar magnitudes de vectores es:
, donde cada es una componente del vector. (También se puede escribir como: , pero bueno, cada quien sus gustos).


En el caso que nos ocupa los vectores sólotienen dos componentes, así que la cosa queda:

y

Para la segunda parte, tomemos en cuenta que y . Por lo tanto:


Comoedia finita est.
2. El movimiento curvilíneo de una partícula está definido por , , , donde x, y, z están en metros y el tiempo en segundos. Determine las magnitudes de la velocidad y aceleración de la partícula así como los ángulos directores de los vectores de velocidad yaceleración cuando .

Solución:
Al igual que en el problema anterior, se derivan con respecto al tiempo las ecuaciones de posición:


Por lo que para :


Ahora bien, esto de los ángulos directores no esa nada del otro jueves. La definición es la siguiente:

Por lo tanto, para despejar los ángulos sólo hay que dividir las componentes del vector entre su magnitud y sacarle coseno inverso alresultado. Así, para la velocidad los ángulos son:


Operando del mismo modo, para la aceleración los ángulos son:


Comoedia finita est.
3. Una partícula se mueve en el plano XY de tal forma que su posición está definida por , donde está en [rad] y r en [ft]. Si , donde t está en segundos, determine la velocidad y la aceleración de la partícula cuando .

Solución:
Es exactamente la mismamamada que en la primera, a diferencia de que aquí primero hay que sustituir el valor de que nos dan aparte. Una vez hecho esto las ecuaciones quedan:



Y pues para :


Comoedia finita est.
4. El movimiento de las partículas A y B es descrito por las leyes y , respectivamente, donde t está en segundos. Determine cuándo y con qué rapidez de las partículas ocurre la colisión de ambas.Solución:
¡Madre de Dios, ya estamos hablando de colisiones! Calma, calma, que no cunda el pánico. El chiste aquí es determinaren que tiempo t ambas partículas se encuentran en las mismas coordenadas tanto en el eje y como en el eje z. La cosa va más o menos así:

Igualando los componentes en i nos queda:

Mmm… tenemos dos resultados, pero si igualamos las componentes en j:

Aquí también tenemos dosresultados, pero tomando en cuenta que para que las partículas colisionen necesariamente tienen que coincidir ambas coordenadas nos damos cuenta de que la única respuesta posible es:

Para sacar las velocidades simplemente derivamos con respecto al tiempo ambas ecuaciones de movimiento y sustituimos t=2s:

Y como nos piden las rapideces, pues sacamos las normas de los vectores:

y ya.
Comoediafinita est.
5. En cualquier instante, la posición horizontal de un globo meteorológico mostrado en la figura, es definida por , donde t está en segundos. Si la ecuación de la trayectoria es , determine a) la distancia del globo a la estación ubicada en A cuando t=2 s, b) la magnitud y la dirección de la velocidad cuando t=2 s, y c) la magnitud y la dirección de la aceleración cuando t=2 s....