DINAMICA

5.1 ECUACIONES DEL MOVIMIENTO DE UN CUERPO RÍGIDO.
Un cuerpo rígido, es un concepto, que representa cualquier cuerpo que no se deforma y es representado por un conjunto de puntos en el espacio que se mueven de tal manera que no se alteran las distancias entre ellos, sea cual sea la fuerza actuante sobre él:
|ra -rb | = c
Las ecuaciones de movimiento para un cuerpo rígido son las mismas que seutilizan para resolver problemas relacionados con cinemática, es decir:



De manera general:


Momentos de inercia
El cálculo de momentos de Inercia requiere realizar integraciones. Además el cálculo debe ser en algún origen específico del cuerpo y para ejes determinados. Normalmente se encuentran los momentos de Inercia para orígenes coincidiendo con el centro de masa y para ejes que coinciden conejes de simetría, cuando los hay. Se darán algunos ejemplos de cálculo, pero ahora daremos los resultados para los cuerpos de formas más simples.
Por ejemplo:
cilindro
I = ½ MR²
esfera
I = 2 /5MR²
Barra delgada en su centro
I = 1 /12ML²
Barra delgada en su extremo
I = 1 /3ML²
Teorema de Steiner
Conocido el momento de inercia para un eje que pasa por el centro de masa G, se puede calcular elmomento de inercia para otro eje paralelo al anterior en un punto A mediante la relación conocida como teorema de Steiner
IA = IG + Md2
donde d es la distancia entre esos dos ejes. Para demostrarlo considere ejes GX"Y"Z" con origen en G, y ejes paralelos AXY Z con origen en A. Consideremos solamente momentos de inercia respecto al eje Z, porque la demostración para los
otros es análoga.



Entoncestenemos




pero las coordenadas están relacionadas de:

se obtienen



y luego


de manera que


Pero

porque son coordenadas relativas al centro de masa y
distancia entre los ejes Z. Ha resultado entonces
IA = IG + Md2
Movimiento de rotación
El caso más simple ocurre cuando el cuerpo puede solamente girar en
torno a un eje fijo. Si llamamos O al punto del cuerpo por donde pasa el eje
derotación, nuestra relación fundamental entre torque y momentum angular es

La energía cinética del cuerpo es

Que pueden escribirse






Ejemplo:





El sistema está formado por una barra delgada y homogénea OA, de 2 m de longitud y 10 N de peso, articulada en O y rígidamente unida a un disco homogéneo B de 1 m de radio y 20 N de peso se suelta desde el reposo en la posición indicada en la figura.a) Hallar la aceleración angular a del sistema correspondiente a esa posición inicial de su movimiento.

Como se trata de una rotación baricéntrica alrededor de un eje fijo que pasa por O y es perpendicular al plano de movimiento se considerarán los ejes normal y tangencial que se indican en la figura anterior.
Para localizar la posición del centro de masa C, del sistema, se ubicará el sistema de ejescartesianos con origen en O como se indica. Por simetría, el centro de masa se halla sobre el eje x, tomando momentos con respecto a dicho punto se obtiene:
r(10+20)=10(1)+20(3)=70
Entonces:
r=70/30=7/3= 2.33 m
Considerando:
Mo=Io a
Io=I1+I2
I1=M1L12/3= 1/3 (10/9.8)(22)
Y aplicando el teorema de Steinner:
I2=I2 +M2d22
I2=1/2(20/9.8)(1)2+(20/9.8)(3)2
I2=20/9.8(0.5+9)= 19.388776
Io=20.7483 Kg.m2Por lo tanto:
Mo=Io a
1(10)+3(20)=20.7483 a
Despejando a:
a =70/20.7483= 3.3738 rad/s2
Movimiento plano general (rotación y traslación simultáneas)
En estos casos el cuerpo se traslada y además rota respecto a un eje perpendicular
al plano de movimiento. En estos casos es conveniente considerar las rotaciones respecto a un eje que pasa por el centro de masa porque se cumple que

o bien para lacomponente perpendicular al plano del movimiento


Además de

Puede ser útil la energía cinética, cuya expresión es

Siendo la primera parte llamada energía cinética de traslación y la segunda parte energía cinética de rotación.








5.2 Momento angular de un cuerpo rígido en el plano.
Momento de una fuerza
Se denomina momento de una fuerza respecto de un punto, al producto vectorial del vector...