Dinámica de la rotación - cuerpo rígido

Dinámica de la rotación - Cuerpo rígido.
Objetivo:
Completar las leyes de conservación para sistemas de partículas con la correspondiente al momento angular. La postergación hasta este punto se debe a que presentamos con ella algunos elementos fundamentales para tratar el movimiento del cuerpo rígido.
Dinámica de la rotación de un conjunto de partículas
Al igual que con lasmagnitudes extensivas tratadas anteriormente, P y E, definamos el momento angular de un sistema de partículas respecto de un punto, a la suma de los momentos de cada partícula componente respecto del mismo punto.
L = Σ li
Calculemos ahora la derivada temporal del momento L,
dL/dt = d/dt Σ li = d/dt Σ ri x pi
(estamos tomando el orígen como el punto respecto delcual calculamos los li),
= Σ ri x pi + ri x pi
El primer término en la sumatoria cae pues velocidad y momento lineal de cada partícula son vectores paralelos. En el segundo reemplazamos pi por fi, la fuerza que actua sobre la partícula i, y ésta última la descomponemos en fuerzas exteriores fie, y fuerzas debidas a la interacción de la partícula i con las restantespartículas del sistema,
= Σ ri x (fie + Σj fji) = Σi ri x fie + Σi ri x Σj fji
Ahora desarrollamos el 2do sumando para mostrar que no contribuye (esto se puede intuir antes de hacer la matemática pues su anulación significa que las fuerzas interiores no pueden hacer girar al sistema). Comenzamos con la igualdad evidente
Σi ri x Σjfji = Σj rj x Σi fij
pues lo unico que se ha hecho es intercambiar i por j, y se suma sobre ambos. Entonces
Σi ri x Σj fji = 1/2 (Σi ri x Σj fji + Σj rj x Σi fij)
= 1/2 Σij ( ri x fji + rj x fij)



y usamos fji = - fij, acción y reacción para rescribir la última= 1/2 Σij ( ri - rj) x fji
que se anula por ser producto vectorial de vectores paralelos pues fji tiene la dirección del vector que une ambos puntos. Retomando,
dL/dt = Σi ri x fie = Σi Mi = M
dL/dt = M
el momento de las fuerzas exteriores.
Corolario: En ausencia de momento de fuerzasexteriores, el momento angular de un sistema de partículas se conserva.
Hay otro modo de llegar al mismo resultado, que interesa para posteriores desarrollos.
Vimos el teorema de conservación del momento lineal para un sistema de partículas, para el que se pedía que el espacio fuera homogéneo, con el significado de que todos los puntos del espacio tuvieran iguales propiedades mecánicas, lo quepermitía afirmar que un desplazamiento del sistema como un todo no cambiaría la evolución del mismo, o equivalentemente no cambiaría el Lagrangiano. Algo completamente análogo lleva a demostrar la conservación del momento angular, para el cual debe pedirse que el espacio sea isótropo, o que todas las direcciones (y no los puntos) son equivalentes, de modo que el Lagrangiano no cambia ante unarotación del sistema en su conjunto. Para demostrar el teorema comencemos viendo como se expresa matemáticamente la rotación.

Fuerza de rozamiento
La fuerza de rozamiento es una fuerza que aparece cuando hay doscuerpos en contacto y es una fuerza muy importante cuando se estudia elmovimiento de los cuerpos. Es la causante, por ejemplo, de que podamos andar(cuesta mucho más andar sobre una superficiecon poco rozamiento, hielo, porejemplo, que por una superficie con rozamiento como, por ejemplo, un suelorugoso).

Existe rozamiento incluso cuando no hay movimiento relativo entre los doscuerpos que están en contacto. Hablamos entonces de Fuerza de rozamiento estática. Por ejemplo, si queremos empujar un armario muy grande y hacemosuna fuerza pequeña, el armario no se moverá. Esto es debido a...