Diofantica
Páginas: 6 (1463 palabras)
Publicado: 4 de julio de 2012
TEORíA DE NÚMEROS. HOJA 3.
LA ECUACIÓN DIOFÁNTICA AX + BY = C. NÚMEROS PRIMOS. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA.
La ecuación diofántica ax+by=c 1. Probar que la ecuación 2x + 10y = 17 no tiene ninguna solución para x, y ∈ Z. 2. Teorema. Probar que la ecuación diofántica ax + by = c tiene soluciones enteras si y sólo si c es múltiplo de mcd(a, b). Además, si x0 , y0 ∈ Z es una soluciónparticular de la ecuación, todas las demás soluciones enteras están dadas por x = x0 + con t ∈ Z. 3. Corolario. Probar que si a, b son primos entre sí y x0 , y0 ∈ Z es una solución particular de ax + by = c, entonces todas las demás soluciones enteras vienen dadas por x = x0 + bt, y = y0 − at con t ∈ Z. 4. Decir si las siguientes ecuaciones diofánticas tienen o no solución: 1. 6x + 51y = 22 2. 33x +14y = 115 3. 14x + 35y = 93. 5. Hallar todas las soluciones enteras de las siguientes ecuaciones, y decir cuáles son positivas: 1. 2. 3. 4. 18x + 5y = 48 54x + 21y = 906 123x + 360y = 99 158x − 57y = 7. b d t, y = y0 − a t, d
6. Si a, b son números naturales primos entre sí, probar que la ecuación ax − by = c tiene infinitas soluciones naturales. 7. Probar que la ecuación diofántica ax + by + cz= d tiene soluciones enteras si y sólo si d es múltiplo de mcd(a, b, c). 8. Encontrar todas las soluciones enteras de 15x + 12y + 30z = 24.
Indicación: Poner y = 3s − 5t, z = −s + 2t.
9. El teatro de la esquina cobra 1, 80 euros por una entrada de adulto y 0, 75 por una de niño. El lunes pasado la recaudación fue de 90 euros. Suponiendo que los niños fueron minoría, ¿cuánta gente acudió alteatro? 10. Cuando el señor Lebowski fue con sus bolsillos vacíos a cobrar un cheque al banco, el cajero confundió el número de dólares con el de centavos y viceversa. El error le pasó desapercibido al señor Lebowski, y después de gastar 68 centavos en una botella de leche, se sorprendió al constatar que tenía en sus bolsillos el doble del importe del cheque. Averiguar cuál fue el menor importeposible por el que se emitió el cheque. 11. Descomponer el número 100 como suma de dos números uno de los cuales es divisible por 7 y el otro por 11.
Números primos 12. Definición. Se dice que un entero p > 1 es un número primo si sus únicos divisores positivos son 1 y p. Si un número n > 1 no es primo entonces se dice que es compuesto. 13. Teorema. Probar que si p es primo y p | ab, entonces p | ao p | b. 14. Corolario. Si p es primo y p | a1 a2 ...an , entonces p | ai para algún i ∈ {1, 2, ..., n}. 15. Si p, q1 , q2 , ..., qn son primos y p | q1 q2 ...qn entonces p = qj para algún j. 16. Teorema fundamental de la aritmética. Probar que todo entero mayor que uno se puede escribir como producto de primos, y que esta expresión es única salvo por el orden de los factores. 17. Corolario.Probar que todo entero mayor que uno puede escribirse de manera única en la forma canónica n = pk1 pk2 ...pkr , 1 2 r donde kj son enteros positivos, pi son primos con p1 < p2 < ... < pr , y r ∈ N. 18. Si p ≥ 5 es primo, probar que p2 + 2 es compuesto.
Indicación: dividir p por 6.
19. Si p es primo y p | an , probar que pn | an . 20. Probar que n4 + 4 es compuesto para todo n > 1. 21. Probar quesi n > 4 es compuesto entonces n divide a (n − 1)!. 22. Probar que todo entero n > 11 puede escribirse como suma de dos números compuestos. 23. Encontrar todos los primos que dividen a 50!. 24. Probar que a > 1 es un cuadrado de un número natural si y sólo si en su descomposición canónica todos los exponentes de los primos son pares.
25. Se dice que un entero está libre de cuadrados si no esmúltiplo del cuadrado de ningún entero mayor que uno. Probar que n > 1 está libre de cuadrados si y sólo si n puede factorizarse en producto de primos todos distintos. 26. Probar que todo entero n > 1 es producto de un cuadrado perfecto y un número libre de cuadrados. 27. Probar que todo entero n puede escribirse en la forma n = 2k m, con k ≥ 0 y m impar. 28. Probar que todo número compuesto a...
LA ECUACIÓN DIOFÁNTICA AX + BY = C. NÚMEROS PRIMOS. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA.
La ecuación diofántica ax+by=c 1. Probar que la ecuación 2x + 10y = 17 no tiene ninguna solución para x, y ∈ Z. 2. Teorema. Probar que la ecuación diofántica ax + by = c tiene soluciones enteras si y sólo si c es múltiplo de mcd(a, b). Además, si x0 , y0 ∈ Z es una soluciónparticular de la ecuación, todas las demás soluciones enteras están dadas por x = x0 + con t ∈ Z. 3. Corolario. Probar que si a, b son primos entre sí y x0 , y0 ∈ Z es una solución particular de ax + by = c, entonces todas las demás soluciones enteras vienen dadas por x = x0 + bt, y = y0 − at con t ∈ Z. 4. Decir si las siguientes ecuaciones diofánticas tienen o no solución: 1. 6x + 51y = 22 2. 33x +14y = 115 3. 14x + 35y = 93. 5. Hallar todas las soluciones enteras de las siguientes ecuaciones, y decir cuáles son positivas: 1. 2. 3. 4. 18x + 5y = 48 54x + 21y = 906 123x + 360y = 99 158x − 57y = 7. b d t, y = y0 − a t, d
6. Si a, b son números naturales primos entre sí, probar que la ecuación ax − by = c tiene infinitas soluciones naturales. 7. Probar que la ecuación diofántica ax + by + cz= d tiene soluciones enteras si y sólo si d es múltiplo de mcd(a, b, c). 8. Encontrar todas las soluciones enteras de 15x + 12y + 30z = 24.
Indicación: Poner y = 3s − 5t, z = −s + 2t.
9. El teatro de la esquina cobra 1, 80 euros por una entrada de adulto y 0, 75 por una de niño. El lunes pasado la recaudación fue de 90 euros. Suponiendo que los niños fueron minoría, ¿cuánta gente acudió alteatro? 10. Cuando el señor Lebowski fue con sus bolsillos vacíos a cobrar un cheque al banco, el cajero confundió el número de dólares con el de centavos y viceversa. El error le pasó desapercibido al señor Lebowski, y después de gastar 68 centavos en una botella de leche, se sorprendió al constatar que tenía en sus bolsillos el doble del importe del cheque. Averiguar cuál fue el menor importeposible por el que se emitió el cheque. 11. Descomponer el número 100 como suma de dos números uno de los cuales es divisible por 7 y el otro por 11.
Números primos 12. Definición. Se dice que un entero p > 1 es un número primo si sus únicos divisores positivos son 1 y p. Si un número n > 1 no es primo entonces se dice que es compuesto. 13. Teorema. Probar que si p es primo y p | ab, entonces p | ao p | b. 14. Corolario. Si p es primo y p | a1 a2 ...an , entonces p | ai para algún i ∈ {1, 2, ..., n}. 15. Si p, q1 , q2 , ..., qn son primos y p | q1 q2 ...qn entonces p = qj para algún j. 16. Teorema fundamental de la aritmética. Probar que todo entero mayor que uno se puede escribir como producto de primos, y que esta expresión es única salvo por el orden de los factores. 17. Corolario.Probar que todo entero mayor que uno puede escribirse de manera única en la forma canónica n = pk1 pk2 ...pkr , 1 2 r donde kj son enteros positivos, pi son primos con p1 < p2 < ... < pr , y r ∈ N. 18. Si p ≥ 5 es primo, probar que p2 + 2 es compuesto.
Indicación: dividir p por 6.
19. Si p es primo y p | an , probar que pn | an . 20. Probar que n4 + 4 es compuesto para todo n > 1. 21. Probar quesi n > 4 es compuesto entonces n divide a (n − 1)!. 22. Probar que todo entero n > 11 puede escribirse como suma de dos números compuestos. 23. Encontrar todos los primos que dividen a 50!. 24. Probar que a > 1 es un cuadrado de un número natural si y sólo si en su descomposición canónica todos los exponentes de los primos son pares.
25. Se dice que un entero está libre de cuadrados si no esmúltiplo del cuadrado de ningún entero mayor que uno. Probar que n > 1 está libre de cuadrados si y sólo si n puede factorizarse en producto de primos todos distintos. 26. Probar que todo entero n > 1 es producto de un cuadrado perfecto y un número libre de cuadrados. 27. Probar que todo entero n puede escribirse en la forma n = 2k m, con k ≥ 0 y m impar. 28. Probar que todo número compuesto a...
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