dios

efinición de suma y multiplicación en Q[editar · editar fuente]
Se define la suma \frac{a}{b}+\frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}
Se define la multiplicación \frac{a}{b}\times\frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}Relaciones de equivalencia y orden en Q[editar · editar fuente]
Se define la equivalencia \frac{a}{b}=\frac{c}{d} cuando ad = bc \,
Los racionales positivos son todos los \frac{a}{b} tales queab > 0 \,
Los racionales negativos son todos los \frac{a}{b} tales que ab < 0 \,
Se define el orden \frac{a}{b}>\frac{c}{d} cuando ad - bc > 0 \,
Existencia de neutros e inversos[editar ·editar fuente]
Para cualquier número racional: \frac{a}{b} se cumple que \frac{a}{b}+\frac{0}{1}=\frac{a}{b} entonces \frac{0}{1} es el neutro aditivo de los racionales y se le denota por 0.
Paracualquier número racional: \frac{a}{b} se cumple que \frac{a}{b}\times\frac{1}{1}=\frac{a}{b} entonces \frac{1}{1} es el neutro multiplicativo de los racionales y se le denota por 1.
Cada número racional:\frac{a}{b} tiene un inverso aditivo \frac{-a}{b} tal que \frac{a}{b}+\frac{-a}{b}=0
Cada número racional: \frac{a}{b} con excepción de 0 tiene un inverso multiplicativo \frac{b}{a} tal que\frac{a}{b}\times\frac{b}{a}=1
Equivalencias notables en Q[editar · editar fuente]
Todo número entero p \, se puede escribir como fracción \frac{p}{1}
\frac{ca}{cb}=\frac{a}{b} con c\neq 0 y b\neq 0\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}
\frac{-a}{b}=\frac{a}{-b}=-\frac{a}{b}
\frac{0}{a}=\frac{0}{b}=0 con a\neq 0 y b\neq 0
\frac{a}{a}=\frac{b}{b}=1 con a\neq 0 y b\neq 0 .
Propiedades[editar ·editar fuente]
El conjunto \Q, con las propiedades de adición y multiplicación definidas más arriba, conforma un cuerpo conmutativo: el cuerpo de cocientes de los enteros \Z.
Los racionales son elmenor cuerpo con característica nula.
La clausura algebraica de \Q, es el conjunto de los números algebraicos.
El conjunto de los números racionales es numerable, es decir que existe una biyección...