Dios

Resumen y Ejercicios de repaso de 1º de Bachillerato

I.E.S. José Hierro

Interpolación y extrapolación
Concepto: Cuando pensamos que dos magnitudes variables, x e y, están relacionadas por una función
pero no conocemos su fórmula, es posible partir de los datos conocidos que las relacionan (x0, y0),
(x1, y1), (x2, y2) …. para calcular una función polinómica y = f (x) que cumpla f(x0) = y0, f(x1) = y1 ,
f(x2) = y2 … Esta función f (x) (cuya fórmula se llama polinomio interpolador) no es exactamente la
función que buscamos (que podría ser exponencial, logarítmica o de cualquier otro tipo) pero sirve para
calcular aproximadamente otros valores desconocidos de las variables, especialmente si se encuentran
próximos a los valores conocidos xi . Se llama interpolar a utilizar elpolinomio interpolador para
calcular valores desconocidos de la función que se encuentran entre otros conocidos, y extrapolar a
usarlo para calcular valores fuera del intervalo de los conocidos (es decir, usarlo con valores mayores
que el más grande de las xi conocidas, o menores que el más pequeño de éstas). La interpolación es un
método fiable para calcular valores aproximados de la funcióndesconocida, pero la extrapolación
puede dar resultados muy distintos de los reales.
Interpolación de grado 0: El caso más trivial es cuando solo conocemos un dato (x0, y0). Podemos
decir que la función desconocida es parecida a la función constante f (x)= y0 (solo cerca de x0).
Interpolación lineal, o de grado 1: Si se conocen dos parejas de datos (x0, y0) y (x1, y1) , se puede
calcular unafunción lineal (polinomio de grado 1) f (x)= y =m x +n que cumpla f(x0) = y0 ,
f(x1) = y1 . Su gráfica es una recta que pasa por los puntos de coordenadas (x0, y0) y (x1, y1) .
Se deben calcular los números m y n resolviendo el sistema

{

y 0=m⋅x 0 +n
por cualquier método, y
y 1=m⋅x 1+ n

sustituirlos en la fórmula de f(x).
(También es posible usar la fórmula para calcular la pendiente dela recta dados dos puntos:
valor en la ecuación

y = m (x – x0 ) + y0

m=

y1 − y 0
, y sustituir su
x1 −x 0

).

Atención: lo importante es escribir f(x) completa, no solo resolver el sistema. Esta función es la que se
usa para interpolar o extrapolar.
Ejemplo. En un negocio recién abierto, la primera semana hubo 150 clientes que supusieron unos
ingresos de 3600 euros, y lasegunda semana 200 clientes que supusieron ingresos de 5600 euros.
a) Halla la función de interpolación lineal que relaciona los ingresos (y) con el número de
clientes (x).
b) ¿Cuántos ingresos generarían 190 clientes?
c) ¿Cuántos clientes se necesitarían para generar 7000 euros de ingresos?
Respuesta. Tenemos dos parejas de datos clientes-ingresos (x, y): (150, 3600) y (200, 5600).
a) Calculamosf ( x)= y =m x +n resolviendo

{

3600=150 m+ n →
5600=200 m+ n

Por lo tanto,

{

{

2000
−3600=−150 m−n
m=
=40 Sustituyendo este valor
5600= 200 m+ n →
50
2000= 50 m
3600=150⋅40+ n → n=−2400

f (x)=40 x−2400

b) Interpolando: f (190)=40⋅190−2400=5200 . 190 clientes supondrían unos ingresos de 5.200 €
7000+2400
=235 Extrapolando, harían falta 235
40
clientes paragenerar unos ingresos de 7000 euros.
c)

f (x)=7000 → 40 x−2400=7000 → x=

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I.E.S. José Hierro

Interpolación cuadrática, o de grado 2: Con tres pares de datos, (x0, y0), (x1, y1) y (x2, y2), es necesario
calcular una función cuadrática (cuya fórmula es un polinomio de segundo grado, con una parábola por
gráfica) f ( x)= y =a x 2+ b x+ c.
Para ello hay que hallar a, b y c resolviendo el sistema

{

y 0=a⋅x20+ b⋅x 0 +c
y 1=a⋅x 21+b⋅x 1+ c y sustituir las soluciones
y 2=a⋅x 22+b⋅x 2+ c

en la fórmula de f (x). Entonces, se usa la función para interpolar o extrapolar valores desconocidos.
Observación: El sistema se simplifica mucho si uno de los xi es 0, porque entonces se obtiene
directamente c en la ecuación que...