Diplomado

Cuerpo rígido

Hugo Medina Guzmán

CAPÍTULO 7. Cuerpo rígido
INTRODUCCION En el capitulo anterior estudiamos el movimiento de un sistema de partículas. Un caso especial importante de estos sistemas es aquel en que la distancia entre dos partículas cualesquiera permanece constante en el tiempo, esto es un CUERPO RIGIDO. A pesar que no existen cuerpos que sean estrictamente rígidos, todos loscuerpos pueden ser deformados, sin embargo el modelo del cuerpo rígido es útil en muchos casos en que la deformación es despreciable. La descripción cinemática y dinámica de un cuerpo extenso aunque este sea rígido en un movimiento en tres dimensiones matemáticamente es muy complejo y es tratado en libros avanzados de dinámica. Es complejo porque un cuerpo tiene seis grados de libertad; sumovimiento involucra traslación a lo largo de tres ejes perpendiculares y rotación alrededor de cada uno de estos ejes. No llegaremos a hacer un tratamiento general directo, pero si desarrollaremos el movimiento del cuerpo rígido en dos dimensiones. MOVIMIENTO DE UN CUERPO RÍGIDO En esta parte expondremos algunos tipos de movimiento de los cuerpos rígidos. TRASLACION. Por traslación entendemos almovimiento en el que lodos los puntos del cuerpo se mueven en la misma dirección, con la misma velocidad y la misma aceleración en cada instante. La suma de las fuerzas que actúan sobre las n partículas determinan la aceleración del centro de masa.

aCM =

→

∑ Fi
M

→

Tal como se mostró para un sistema de partículas, las fuerzas internas se anulan de pares, de forma que solamente importaránlas fuerzas externas tal que

M aCM = ∑ Fext
“El movimiento de traslación del cuerpo rígido es como si toda su masa estuviera concentrada en el centro de masa y las fuerzas externas actuaran sobre él”. Todo el estudio que hemos lecho anteriormente para la partícula corresponde a la traslación de un cuerpo rígido. No importa ni la forma, ni el tamaño. ROTACIÓN. Es el movimiento en que uno dospuntos se consideran fijos. Sí se considera fijo un punto, el único movimiento posible es aquel en el que cada uno de los otros puntos se mueve en la superficie de una esfera cuyo radio es la distancia del punto móvil al punto fijo. Si se consideran dos puntos fijos, el único movimiento posible es aquel en que todos los puntos con excepción de aquellos que se encuentran sobre la línea que une losdos puntos fijos, conocida como EJE, se mueven en circunferencias alrededor de éste.

→

→

Por la definición de centro de masa, tenemos:

rCM =
→

→

∑ mi ri ∑m
i

→

=
→

∑ mi ri
M

→

Donde M es la masa total del cuerpo rígido y

M rCM = ∑ mi ri

Cualquier desplazamiento de un cuerpo rígido puede ser considerado como una combinación de traslación y rotación.Diferenciando dos veces

d2 → d2 → M 2 rCM = ∑ mi 2 ri dt dt
M a CM = ∑ mi ai = ∑ Fi
1
→ → →

En los capítulos anteriores ya hemos profundizado bastante sobre movimiento de traslación

Cuerpo rígido estudiaremos aquí el movimiento de rotación alrededor de un eje y el movimiento de rotación traslación. CANT1DAD DE MOVIMIENTO ANGULAR. MOMENTO DE INERCIA DE UN CUERPO RÍGIDO La cantidad demovimiento angular de una partícula respecto a un punto es
→

Hugo Medina Guzmán

I) El teorema de Steiner o de los ejes paralelos. “El momento de inercia del cuerpo respecto a un eje es igual al momento de inercia del cuerpo respecto a un eje paralelo al anterior y que pasa por el centro de masa es el producto de la masa del cuerpo por el cuadrado de la distancia entre los ejes”.

I 0 = I CM +Md 2
Demostración. La figura siguiente representa la sección de un cuerpo en el plano del papel, CM es el eje normal al plano del papel a través del centro de masa y O es un eje paralelo. Escogiendo un elemento diferencial de masa dm , escribamos la expresión para los momentos de inercia con respecto a los dos ejes.

L = r× p = r× m v r = rr , v = ˆ
→

→

→

→

→

En coordenadas...