direct and indirect

Números complejos
Un número complejo está formado por una parte real y una parte imaginaria y se representa como:
R + JI
R= es un número real
I= es un número real
J= es la representación del número imaginario
J= o la raíz de un número negativo
La representación física de estos números proviene del análisis de una onda sinodal que representa el movimiento de un generador, como semuestra en la (fig. 1).
(Fig.1)










Ejemplos de números complejos
parte real -4 parte imaginaria
También es un número complejo solo con parte real
j Solo con parte imaginaria j=j
El conjugado de un número complejo se obtiene solo con cambiar de signo a la parte imaginaria, por ejemplo;
()*=
Obsérvese que elconjugado se denota por el símbolo *
Otro ejemplo de un número complejo conjugado:
( j)* = j

Operaciones de números complejos
SUMA
Dados dos números complejos (a+jb) y (c+jd) solo se suman algebraicamente las partes reales con las otras partes reales de otros números complejos y las imaginarias con las imaginarias para formar un solo número complejo.
(4+5j) + (5+8j) = (4+5) + (5+8)j= 9 + 13j

(0+5j) + (5+8j) = (0+5) + (5+8)j
= 5 + 13j





MULTIPLICACION
Dados dos números (a + bj) y (c + dj) su producto es otro número complejo de la forma.
(a + bj) (c + dj) = (a•c – b•d) + (a•d + b•c) j
Es importante notar que i•i = -1 =
(a + bj) (c + dj) = (ac – ad i + bci - bd)= (ac – bd) + (ad + bc) i
Reales Imaginario
Ejemplos:
(4 + 3j) (5 + 6j) = (4 • 5 – (3 • -6)) + (4 • 6 + 3 • 5)j )
= (20 -18) + (24 +15) j
= 2 + 39j

(4 -3j) (5 - 6j) = (4 • 5 – (-3 • -6) + (4 • -6 + (-3 • 5)j )
= (20 -18) + (-24 -15) j
= 2 - 39j(-4 -3j) (5 + 6j) = (-4 • 5 – (-3 • 6) + (-4 • 6 + (-3 • 5)j )
= (-20 +18) + (-24 -15) j
= -2 - 39j

(-4 + 3j) (-5 + 6j) = (-4 • -5 – (3 • 6)) + (-4 • 6 + 3 • -5)j )
= (20 -18) + (-24 -15) j
= 2 - 39j




(4 + 3j) (5 - 6j) = (4 • 5 – (3 • -6)) + (4 • -6 + 3 • 5)j= (20 +18) + (-24 +15) j
= 38 - 9j

(7 + 5j) (-4 - 6j) = (7 • -4 – (5 • -6)) + (7 • -6 + 5 • -4)j
= (-28 +30) + (-42 - 20) j
= 2 - 62j


DIVISION DE NÚMEROS COMPLEJOS
La división de número complejos se define como:


Real Imaginaria
En la práctica basta con multiplicarel numerador y el denominador por el conjugado del denominador y realizar operaciones indicadas.



Ejemplos:



= 3 – 2j









=

















Los números complejos se pueden representar en una gráfica en un plano en donde el eje de lasabscisas (eje x) corresponde a la parte real conocido también como eje real, por otro lado el (eje y) corresponde a la parte imaginaria, como se muestra en la fig.2.

(fig.2)
Forma polar y trigonométrica de un número complejo
La forma en que hasta el momento se han representado a los números complejos se les conoce como en forma rectangular; sin embargo también se pueden representar como formapolar y trigonométrica.
Para esto comencemos por definir el módulo de un número complejo como:
|a + bj | =
Ésta fórmula se obtiene del triángulo de Pitágoras al representar el número complejo en un espacio .








Mientras que el argumento del número complejo es el ángulo formado desde el eje real con la recta formada desde el origen hasta el punto representado en .

En la...