Directriz

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Bisectriz

Construcción gráfica con regla y compás.
La bisectriz de un ángulo es la recta que lo divide en dos partes iguales. Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan (están a la misma distancia ) de las semirrectas de un ángulo.
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Propiedades
Los puntos de la bisectrizson equidistantes a los dos lados del ángulo.
Dos rectas, al cruzarse, determinan cuatro ángulos y sus bisectrices se cortan conformando ángulos rectos ente ellas.

En la figura, la bisectriz del ángulo xOy (en amarillo) es (zz'), y la del ángulo x'Oy es (ww'). Se cortan formando un ángulo recto. En efecto, si llamamos a la amplitud de xOz, y b la deyOw, observamos que 2a + 2b es la amplituddel ángulo xOx' = 180º, es un ángulo plano. Luego zOw mide a + b = 90º.
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[editar]Aplicación en triángulos
Las tres bisectrices de los ángulos internos de un triángulo se cortan en un único punto, que equidista de los lados. Este punto se llama el incentro del triángulo y es el centro de lacircunferencia inscrita al triángulo. Esta circunferenciaes tangente a cada uno de los lados del triángulo.

Demostración: Dos bisectrices del triángulo no pueden ser paralelas. Sea O la intersección de las bisectrices D y D' (ver figura). Como O pertenece a D, es equidistante de las rectas (A,B) y (A,C). Como O pertenece a D', entonces también equidista de las rectas (AB) y (BC). Por transitividad de la igualdad, es equidistante de (A,C) y (B,C), ypertenece a la bisectriz (interior) del ángulo C, es decir a D". Al ser equidistante a los tres lados. Se sigue que la circunferencia cuyo radio sea justamente la distancia común del punto O a los lados del triángulo es tangente a cada uno de los lados.
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[editar]Propiedades en un triángulo inscrito

Considere el triángulo A,B,C yla circunferencia circunscrita. La mediatriz M,N, del lado B,C corta el arco B,M,C en su punto medio. Como el ángulo inscrito B,A,C subtiende dicho arco, los ángulos B,A,M y M,A,C son iguales y la recta A,M resulta ser la bisectriz del ángulo B,A,C. Las rectas A,N y A,M son ortogonales, porque el lado M,N del triángulo A,M,N es diámetro de la circunferencia y el vértice A se halla sobre dicha circunferencia. Larecta A,N es bisectriz del ángulo exterior al triángulo A,B,C en el vértice A.
Por lo anteriormente expuesto: La mediatriz de un lado de un triángulo y las bisectrices del ángulo opuesto se intersecan sobre la circunferencia circunscrita
Este hecho se usa en la discusión de la circunferencia de los nueve puntos.
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IncentroEl Incentro (símbolo I) es el punto en el que se intersecan las tres bisectrices de los ángulos internos del triángulo, y es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo y que equidista de sus tres lados, siendo tangente a dichos lados.

Incentro.
Las coordenadas cartesianas de incentro parte de un vértice de el triángulo trazado. Si los vértices tienen coordenadas , , y , y los respectivos lados opuestostienen longitudes , , y , el incentro tendrá por coordenadas:

.

Las coordenadas trilineales del incentro son 1 : 1 : 1.
Las coordenadas baricéntricas del incentro son a : b : c.
[editar]Ejemplo
Una persona vive en una finca limitada por tres vías de ferrocarril. Como le molesta el ruido quiere vivir lo más alejado de ellas. ¿Dónde debe ubicar su casa? La respuesta es el incentro. Esdecir en el centro de la mayor circunferencia posible inscrita dentro del triángulo formado por las tres vías de ferrocarril.
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Ortocentro

Ortocentro.

El triángulo abc es el triángulo órtico del triángulo ABC.
Se denomina ortocentro (símbolo H) al punto donde se cortan las tres alturas de un triángulo. Este no es un hecho trivial, pues...