disños experimentales

Análisis de Covariancia

1. Introducción
En el análisis de covariancia se combinan los conceptos del análisis de variancia para un diseño experimental y de regresión. El análisis de covariancia es utilizado en casos en los que la variable respuesta de un diseño experimental esté relacionada con una o más variables concomitantes. En este capítulo se tratará el caso de la covariancia lineal conuna sola variable concomitante y se presentará el análisis para el Diseño de Bloques Completos al Azar. El estudiante sin embargo, no tendrá ningún problema en llevar esta técnica a un Diseño Completamente al Azar.

2. Modelo Aditivo Lineal
El modelo aditivo lineal para un análisis de covariancia en un Diseño de Bloques Completos al Azar es el siguiente:

donde:
Yij es el valor orendimiento observado en el i-ésimo tratamiento, j-ésimo bloque.
 es el efecto de la media general.
i es el efecto del i-ésimo tratamiento.
j es el efecto del j-ésimo bloque.
 es el coeficiente de regresión lineal de X sobre Y.
Xij es el valor de la variable independiente en el i-ésimo tratamiento, j-ésimo bloque.
es la media de la variable independiente.
εij es el efecto del errorexperimental en el i-ésimo tratamiento, j-ésimo bloque.
t es el número de tratamientos.
b es el número de bloques.
Ejemplo 1: Se desarrolló un experimento cuyo objetivo era determinar si la exposición en agua calentada artificialmente afectaba el crecimiento de las ostras. Cinco bolsas con diez ostras cada una fueron aleatoriamente asignadas a cinco temperaturas (T1, T2, T3, T4, T5); cada bolsaconstituía una unidad experimental. Se utilizaron cinco estanques, cada uno calentado a una de las cinco temperaturas. Las ostras fueron limpiadas y pesadas al comienzo y al final del experimento un mes después. El experimento se repitió cuatro veces para lo cual fueron necesarios 4 meses. Cada repetición constituye un bloque. Los pesos iniciales y finales se presentan en la siguiente tabla:

T1T2
T3
T4
T5
Total
Bloq.
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
I
20.4
24.6
27.2
32.6
26.8
31.7
22.4
29.1
21.8
27.0
118.6
145.0
II
19.6
23.4
32.0
36.6
26.5
30.7
23.2
28.9
24.3
30.5
125.6
150.1
III
25.1
30.3
33.0
37.7
26.8
30.4
28.6
35.2
30.3
36.4
143.8
170.0
IV
18.1
21.8
26.8
31.0
28.6
33.8
24.4
30.2
29.3
35.0
127.2
151.8
Total
83.2
100.1119.0
137.9
108.7
126.6
98.6
123.4
105.7
128.9
515.2
616.9
El modelo aditivo lineal es el siguiente:

donde:
Yij es el peso final de una bolsa de ostras tratada con la i-ésima temperatura de agua (tratamiento) en el j-ésimo mes (bloque).
 es el efecto de la media general de los pesos.
i es el efecto de la i-ésima temperatura del agua.
j es el efecto del j-ésimo mes.
es el coeficiente de regresión lineal de X, el peso final de las ostras, sobre Y, el peso inicial.
Xij es el peso inicial de una bolsa de ostras tratada con la i-ésima temperatura de agua (tratamiento) en el j-ésimo mes (bloque).
es el peso medio inicial de las bolsas de ostras.
εij es el efecto del error experimental con la i-ésima temperatura de agua, en el j-ésimo mes.
t = 5 (Número detratamientos).
b = 4 (Número de bloques).







3. Suposiciones del Modelo Estadístico
Los supuestos del Análisis de covariancia de un Diseño de Bloques Completos al Azar, se deben cumplir los siguientes:
1. Los valores de la variable X son fijados, medidos sin error, y no son afectados por los tratamientos.
2. Las Regresión de X sobre Y después de remover diferencias de bloques ytratamientos es lineal e in dependientes de tratamientos y bloques.
3. Los errores son variables aleatorias independientes distribuida normalmente con media cero y variancia común .

4. Análisis de Covariancia
La metodología para efectuar el Análisis de Covariancia se resume a continuación:
Cuadro ANCOVA
Fuentes de Variación
GL
SCX
SPXY
SCY
SC aj.
GL aj.
CM aj.
Bloques
b – 1
BXX...