Discontinuidades y propiedades de la funciones continuas

6.1. Tipos de discontinuidades
Definicion 6.1 ´ (Discontinuidad removible). Sea A  R, f : A ! R y x0 2 A tal que f es
discontinua en x0. Decimos que la discontinuidad de f en x0 es removible silm
x!x0
f(x) = L existe.
En este caso L =6 f(x0) porque f es discontinua.
x
y
f(x0)
x0
L
Observacion. ´ En la definicion anterior ´ x0 es necesariamente un punto de acumulacion de ´ A.Tendremos entonces una funcion´ g : A ! R continua en x0 tal que g(x) = f(x) para todo x 2 A,
x =6 x0. La funcion´ g solo difiere de ´ f en el punto x0, esta funcion se obtiene “redefiniendo” ´
esta funcionen dicho punto. Visto el criterio anterior de continuidad, los valores de la funci ´ on´ g
buscada se hallan de la siguiente manera:
g(x) =
(
f(x); x =6 x0;
lm
x!x0
f(x); x = x0:
33Ejemplo6.2. La funcion´ f : R ! R definida por f(x) =
x
2 1
x 1
, para x = 1 6 y f(1) = 3, posee
una discontinuidad removible en x0 = 1. En efecto, pues
lm
x!1
x
2 1
x 1
= lm
x!1
x + 1 = 2:Definicion 6.3 ´ (Discontinuidad no removible). Sea f : A ! R, f discontinua en x0 2 A. Se dice
que f tiene una discontinuidad no removible en x0, si lm
x!x0
f(x) no existe.
Observacion. ´ Cabedestacar que si el l´ımite no existe es porque los l´ımites laterales difieren, son
infinitos o no existen.
x
y
x0
x
y
x0
Ejemplo 6.4. La funcion´ f : R ! R definida por f(x) =
1
x + 3
, parax =6 3, y f(3) = 0.
Podemos ver que
lm
x!3+
f(x) = lm
x!3+
1
x + 3
= +1
lo cual nos dice que la funcion´ f tiene una discontinuidad no removible en x0 = 3.
Ejemplo 6.5. La funcion´ f :R ! R definida por f(x) = 5 si x = 0, y f(x) =
1
2 + 4x, si
x 2 R n f0g. Podemos ver que
lm
x!0+
f(x) = lm
x!0+
1
2
+ 4x =
1
2
y lm
x!0
f(x) = lm
x!0
1
2
+ 4x =
1
2
:Desde que f(0) = 5, tenemos que la funcion´ f tiene una discontinuidad removible en x0 = 0.
6.2. Hechos importantes sobre funciones continuas
Recordemos la composicion de funciones: Sean ´ A y B dos...