Discos Giratorios

Universidad
Tecnólogica
Nacional
Facultad
Regional
Santa Fe

Ing. MECÁNICA

ESTABILIDAD II

TEORÍA
DISCOS DE ROTACIÓN

σ

ω

σr

a

σr

σθ
b

σθ
σr

Profesor:

Ing. Hugo A. Tosone
J.T.P.:

Ing. Andrés Anca
Octubre de 2009

DISCOS DE ROTACIÓN: CONTENIDOS
Discos de espesor uniforme. Solución en corrimientos.
Casos particulares: Disco sin orificio central ycon orificio central circular. Análisis y discusión
comparativa de los estados tensionales. Valores máximos.
Limitación en la velocidad periférica en los discos de espesor uniforme. Ensayo de modelos a
escala con igual comportamiento tensional.
Disco de espesor variable. Solución general mediante una función auxiliar.
Caso particular: disco de resistencia uniforme. Perfil del disco.Aplicaciones prácticas.

ESTABILIDAD ΙΙ

DISCOS DE ROTACIÓN

DISCOS DE ROTACIÓN

DISCO DE ESPESOR UNIFORME:
Se analizará el comportamiento tensional para un disco que gira. Si el disco posee
espesor muy pequeño en relación con su radio se podrán despreciar las variaciones de las
tensiones radiales y circunferenciales en todo su espesor.
Para simplificar la operatoria algebraica se analizará undisco de espesor unitario (e=1).
Cuando el disco gira alrededor de su eje, las fuerzas de inercia (fuerzas másicas) generan
tensiones que estarán distribuidas simétricamente respecto a dicho eje.
Se presenta entonces un caso de distribución axil simétrica de corrimientos y de
tensiones, que no dependerán del ángulo polar sino solamente del radio como única variable .
No habrá tensiones decorte, ya que para un mismo radio todas los elementos
diferenciales en esa circunferencia, experimentarán los mismos corrimientos radiales “u” y
entonces no se generarán distorsiones en los “contactos” laterales entre ellos. Ello implica
que las tensiones normales de direcciones circunferenciales y radiales, serán tensiones
principales.
Para resolver el estado tensional y deformacional seutilizará una solución en corrimientos,
por lo que resultará una ecuación diferencial en el corrimiento radial “u”.
Si para un e lemento genérico en la posición “r” se plantea la condición de equilibrio en la
dirección radial, resulta:
θ
r).d
d
r
(r+
dσ

σ

σθ
ω

2

γω
dθ

r

dr

θ
r.d
O

r

σ

r

g

σ

dθ

dr

r

r

σr
.
dθ

.
θ

dr

σ θ.

σθσθ

dr

γ

dθ

dθ

σ θ.

dr

1

σr

g

ω2 r

1
dθ

r.dθ

dσr

dr

σθ

r

fig.1
Por equilibrio de proyecciones de fuerzas en dirección radial, fig. 1, se obtiene :

γ

0 = (σr + d σr ) ⋅ ( r + dr ) ⋅ dθ − σr ⋅ r ⋅ dθ − σθ ⋅ dr ⋅ dθ +  ⋅ ω2 ⋅ r  ⋅ ( r ⋅ dθ ⋅ dr )
g


Todos los sumandos contienen dθ , por lo que se puede cancelar. Luego, operandoalgebraicamente con los binomios queda lo siguiente:

γ
0 = σr ⋅ r + σr ⋅ dr + dσr ⋅ r + dσr ⋅ dr − σr ⋅ r − σθ ⋅ dr + ⋅ ω2 r2 dr
g

Operando y despreciando el cuarto sumando por ser un infinitésimo de orden superior,
resulta:

γ
0 = ( σr − σθ ) ⋅ dr + dσr ⋅ r + ⋅ ω2 ⋅ r2 ⋅ dr
g
DISCOS_TEORIA.doc - 23/10/2009 12:08:00

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ESTABILIDAD ΙΙ

DISCOS DE ROTACIÓNDividiendo todo por “–dr ” queda finalmente:

(σ

− σr ) − r ⋅

θ

d σr γ 2 2
− ω ⋅ r = 0 [1]
dr g

en la que es :

γ: peso específico
g: aceleración gravitatoria
ω: velocidad angular

La [1] es la “Ecuación diferencial de equilibrio” que solo difiere de la obtenida en el caso de
tubos gruesos en el último sumando, fuerza másica debida al giro.
Por otra parte, el signo para lastensiones radiales se estableció contrario al del estudio de
los tubos.
Para poder expresar la [1] en corrimientos se recurre a la ley de Hooke generalizada.

εθ =

1
( σθ − µ ⋅ σr )
E

εr =

1
( σr − µ ⋅ σθ )
E

σr de esas dos expresiones resulta:
E
E
σr =
⋅ ( εr + µ ⋅ εθ )
σθ =
⋅ ε + µ ⋅ εr )
2 (θ
1 − µ2
1− µ

Despejando σθ y

Las deformaciones unitarias ya analizadas para...