discretad

Sucesiones recurrentes.

Matemática discreta 4º Ingeniería Informática

1) Encuentra la solución general para cada una de las siguientes progresiones
geométricas:
a) an+1 – 1,5 an = 0, n ≥ 0; b) 4 an – 5 an–1 = 0, n ≥ 1;
c) 3 an+1 – 4 an = 0, n ≥ 0, a1 = 5; d) 2 an – 3 an–1 = 0, n ≥ 1, a4 = 81;
SOLUCIÓN:
a) Se trata de una progresión geométrica de razón 1,5. Por tanto la solución generales an = a0(1,5)n
b) Se trata de una progresión geométrica de razón 5/4. Por tanto la solución general
es an = a1(5/4)n-1
c) Se trata de una progresión geométrica de razón 4/3. Sabiendo que a1=5, tenemos
que la solución general es an = 5(4/3)n-1
d) Se trata de una progresión geométrica de razón 3/2. Sabiendo que a4=81,
tenemos que 81=a1.(3/2)3, de donde a1= 24 la solución general es an =24(3/2)n-1= 3n.2n-4
2.) Si an, n ≥ 0, es una solución de la relación de recurrencia an+1 – d an = 0 y a3 =
153/49, a5 = 1377/2401, ¿cuánto vale d?
SOLUCIÓN:
Al tratarse de una progresion geométrica de razón d, tenemos que
a5 = a3.d2, es decir que d2 = (1377/2401).(49/153) = 9
d = ±3
3.) Hace quince años se invirtieron las ganancias de un negocio en una cuenta que
pagaba un 8% de interésanual con pagos trimestrales. Si ahora el saldo de la cuenta
es de 7.218,27 €, ¿cuál fue la inversión inicial?
SOLUCIÓN:
Método 1: Si an es el capital al cabo del trimestre n, resulta que
an = an-1+ (0,08/4)an-1, es decir una relación de recurrencia an – 1,02 an-1 = 0 que es una
geométrica de razón 1,02 y cuya solución general es an = c(1,02)n
Si el saldo de la cuenta al cabo de 15 años (60trimestres) es 7.218,27 resulta que
7218,27
a60 = 7.218,27, de donde podemos averiguar c, ya que c =
= 2200
(1,02) 60
La inversión incial es a0 = 2200
Método 2:
Para deducir la fórmula que me da el capital, hagamos lo siguiente. Llamemos C0 al
capital inicial y Ci al que tenemos al cabo del trimestre i.
Al cabo del primer trimestre tendremos C1=C0+(0,08/4)C0 = C0 (1+(0’08/4))
Al cabo delsegundo trimestre tendremos C2=C1+(0,08/4) C1=C0(1+(0’08/4))2
Al cabo de los 15 años (60 trimestres) tendremos C60=C0(1+(0,08/4))60
Es una progresión geométrica de razón 1+(0’08/4) =1,02. Aplicando los datos del
ejercicio, tenemos:
7218,27 = C0. (1,02)60; de donde C0 = 2200 €

José Manuel Ramos González

1

Sucesiones recurrentes.

Matemática discreta 4º Ingeniería Informática

4. Seax1, x2, …, x20 una lista de números reales distintos que deben ordenarse
mediante el método de la burbuja. (a) ¿Después de cuántas comparaciones estarán
ordenados en forma ascendente los diez números más pequeños de la lista? (b)
¿Cuántas comparaciones más se necesitan para terminar la ordenación?
SOLUCIÓN:
Necesito 19 comparaciones para que el menor de todos quede en la primera posición.18 para el segundo y así sucesivamente hasta el 10º.
El número de comparaciones hasta quedar ordenados los diez números más pequeños de
la lista sería: 19+18+17+16+15+14+13+12+11+10 = 145
b) Faltan para completar la ordenación 9+8+7+6+5+4+3+2+1= 45

5.) Resuelve las siguientes relaciones de recurrencia:
a) an = 5 an–1 + 6 an–2=0, n ≥ 2, a0 = 1, a1 = 3;
b) 2 an+2 – 11 an+1 + 5 an = 0, n ≥ 0,a0 = 2, a1 = – 8;
c) 3 an+1 = 2 an + an–1=0, n ≥ 1, a0 = 7, a1 = 3;
d) an+2 + an = 0, n ≥ 0, a0 = 0, a1 = 3;
e) an+2 + 4 an = 0, n ≥ 0, a0 = a1 = 1;
f) an – 6 an-1 + 9 an-2 = 0, n ≥ 2, a0 = 5, a1 = 12;
g) an + 2 an-1 + 2 an-2 = 0, n ≥ 2, a0 = 1, a1 = 3;
SOLUCIÓN:
a) an - 5 an–1 - 6 an–2, n ≥ 2, a0 = 1, a1 = 3
Busco una p.g. an = c.rn que verifique la relación de recurrencia, es decir:c.rn – 5.crn-1 - 6.crn-2 = 0; sacando factor común a crn-2 obtenemos
c.rn-2(r2-5r-6) = 0.
La ecuación característica es r2-5r-6 = 0, cuyas soluciones son 6 y -1
Entonces an=c.6n y an = c.(-1)n son soluciones buscadas, como son linealmente
independientes, la solución general es an = c1.6n + c2. (-1)n. Para hallar c1 y c2, hacemos
uso de que a0 = 1, a1 = 3.
Si a0=1, tenemos que 1 = c1 + c2
Si...