discriminante hessiano

DISCRIMINANTE O
HESSIANO
Para encontrar máximos, mínimos y
puntos de silla en funciones de varias
variables.
El presente documento expone de manera detallada
el discriminante, hessiano o matriz hessiana.
Inicialmente se da a conocer una breve reseña
histórica y biográfica acerca del creador o inventor de
las matrices hessianas.
Luego se presenta un paso a paso de cómo resolverfunciones de dos o más variables, haciendo uso de la
matriz hessiana.
Finalmente se expone un ejercicio de aplicación para
dicha teoría.
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HISTORIA

Ludwig Otto Hess (1811-1874)

El hessiano, conocido también como discriminante o matriz
hessiana, fue introducido en el año de 1844 por Hess, matemático
alemánquien nació en 1811 y murió en 1874. Esto sucedió luego
de que Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851) introdujera “los
jacobianos”. Lo que hizo Jacobi con esto fue expresar los cambios
de variable de las integrales múltiples en términos de estos.

Respecto a los detalles biográficos de Ludwig Otto Hess se
sabe

que

nació

precisamente

en

Konigsberg,

Alemania

(actualmente Rusia)el 22 de abril de 1811. Estudió con Jacobi en
su ciudad natal (Konigsberg), donde se desempeñó primero como
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maestro de física y química; posteriormente como profesor. En
1856 se trasladó a Heidelberg, dondepermaneció doce años,
antes de tomar un puesto en Munich, donde falleció el 4 de agosto
de 1874.

Ludwig Otto Hess se hizo tan famoso por una matriz que
introdujo en un artículo de 1842 referido a curvas cúbicas y
cuadráticas.

NOTACIÓN DE LAS DERIVADAS PARCIALES

Se aclaran notaciones que se pueden utilizar, las cuales son
equivalentes al momento trabajar con derivadas parciales:

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MATRIZ HESSIANA DE DOS VARIABLES

Si se tiene un ejercicio con dos variables, se obtendrá una
matriz hessiana 2 x 2. Si el ejercicio fuese de tres variables, la
matriz hessiana sería 3 x 3, y así sucesivamente. Para elcaso de
dos variables, la matriz hessiana 2 x 2 se genera de la siguiente
manera:

En el presente documento se utilizará la notación que
aparece en el miembro izquierdo de las ecuaciones por
considerarlo más sencillo de comprender en primera instancia.

MATRIZ HESSIANA DE TRES VARIABLES

Se muestra la matriz resultante cuando se trabaja con
ejercicios o problemas de tres variables. Lamatriz hessiana será
de 3 x 3 de la siguiente manera:

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SIGNIFICADO DE CADA ELEMENTO DE LA MATRIZ
HESSIANA DE TRES VARIABLES

Con el objetivo de explicar cada detalle con la mayor
claridad posible, se expresa elsignificado de cada uno de los
elementos que aparecen dentro de la matriz:

Significa que se deriva la función original por primera vez
con respecto a x y luego ese resultado se deriva por segunda vez
con respecto a x nuevamente.
Significa que se deriva la función original por primera vez
con respecto a y y luego ese resultado se deriva por segunda vez
pero ahora con respecto a x.
Significaque se deriva la función original por primera vez
con respecto a z y luego ese resultado se deriva por segunda vez
pero ahora con respecto a x.
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Significa que se deriva la función original por primera vez
con...