Discurso de despedida de egresados

8.2. DEFINICIÓN RIGUROSA DEL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN |

Definición |

Sea a un punto de un intervalo abierto I, sea f(x) una función definida en I exceptoposiblemente en el punto a. El límite de f(x) cuando x tiende al punto a, es un real L y se escribe: , si y solamente si, para cada , existe un , tal que para todo, si entonces, (1).   Observaciones:   i. La implicación (1) puede escribirse en las siguientes formas equivalentes:            La figura 8.1. ilustragráficamente el significado de  y  en esta última implicación. Obsérvese que para aquellos x que pertenecen al intervalo: , los correspondientes f(x) pertenecen alintervalo: |
fig. 8.1.
ii. El límite de una función no depende del valor de la función en el punto, aunque algunas veces coincide, sino, del valor de la función enlas "cercanías" del punto. Asi por ejemplo, considérese la función f definida por:      Vimos en la sección 8.1. que, , sin embargo, f(1) = 5.   Nótese que , si  De esta forma la función f(x) después de simplificarla se puede escribir asi:     Su gráfica aparece en la figura 8.2. Nótese que los valores de f(x) están cercade 3, cuando los valores de x están próximos a 1.   |
fig. 8.2.
iii. La definición de límite no establece la manera de determinar el  para un  dado. En lasdemostraciones sobre límites, el procedimiento está orientado a dejar en claro como se puede determinar dicho  . Algunas veces, como en los ejercicios 1 y 2 dela sección 8.4., se puede establecer una relación entre  y  que satisface la definición y esto es suficiente para dar por terminada la demostración.   |