Discusion de una Ecuacion

Discusión de ecuaciones algebraicas

Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

DISCUSIÓN DE ECUACIONES ALGEBRAICAS
UNIDAD V
Existen dos problemas fundamentales en la Geometría Analítica:
1. Dada una ecuación hallar el lugar geométrico que representa.
2. Dado un lugar geométrico definido por determinadas condiciones, hallar su ecuaciónmatemática.

1er Problema

Ecuación

Gráfica
2° Problema

V. 1 CONCEPTO DE LUGAR GEOMÉTRICO
Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que satisfacen una determinada condición. La solución de
un problema de lugares geométricos es una ecuación, la ecuación de todos los puntos que cumplen la
dicha condición.
Por ejemplo, el lugar geométrico formado por la condición

y = x 2 es:
y

xy

50

-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7

49
36
25
16
9
4
1
0
1
4
9
16
25
36
49

45
40
35
30
25
20
15
10
5

-8

-6

1

-4

-2

2

4

6

8

10

x

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Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

El lugar geométrico se forma a partir detodos los puntos que satisfacen la condición, es decir, su gráfica
representa la unión de una infinidad de puntos. Sin embargo, en la práctica se toma como referencia las
parejas ordenadas que se obtienen de la tabulación y se unen. Para el ejemplo anterior son:

(− 4,16), (− 3,9), (−2,4), (−1,1), (0,0), (1,1), (2,4), (3,9), (4,16) y (− 5,25).

Puede apreciarse que el punto A
valores, nosatisface la ecuación.

(− 5,25),

(−5,− 15) no pertenece al lugar geométrico, ya que si se sustituyen los

V. 2 DISCUSIÓN DE UNA CURVA
Para trazar una gráfica, el procedimiento consiste en localizar puntos derivados de una tabulación y
dibujar una línea continua que pasa por todos ellos. Sin embargo, no todas las gráficas son continuas y
por lo tanto, este procedimiento no es válido ya que seintroducirían errores en el trazado de las gráficas.
Para evitar errores de este tipo se debe realizar una investigación preliminar de la ecuación antes de
trazar la curva. A esto se le conoce como discusión de una curva a través del método de los seis pasos.
Las características por analizar son:
1)
2)
3)
4)
5)
6)

Intersecciones con los ejes
Simetría
Extensión o campo de variaciónAsíntotas
Tabulación
Trazado de gráfica.

V.2.1 INTERSECCIONES CON LOS EJES
Son los puntos en que la gráfica del lugar geométrico corta a los ejes coordenados.
Para hallar la intersección con el eje

x

se hace y = 0 en la ecuación dada y se despeja la variable

Análogamente, para hallar la intersección con el eje

y

se hace x = 0 y se despeja

x.

y.

V.2.2 SIMETRÍAExisten tres casos posibles de simetría para un lugar geométrico:
a) Una curva es simétrica con respecto al eje x si para cada valor de x se obtienen dos valores iguales
pero de signos contarios de y . Por lo tanto, si una ecuación no se altera al sustituir y por − y , su
representación gráfica o lugar geométrico es simétrica respecto al eje x .
b) Una curva es simétrica con respecto al eje y sipara cada valor de y se obtienen dos valores iguales
pero de signos contarios de x . Por lo tanto, si una ecuación no se altera al sustituir x por − x , su
representación gráfica o lugar geométrico es simétrica respecto al eje y .
c) Una curva es simétrica con respecto al origen si para cualquier punto que pertenezca al primer
cuadrante equidista de otro punto que esté en el tercer cuadrante o,si para cualquier punto que se
ubique en el segundo cuadrante, equidista de otro punto que se localice en el cuarto cuadrante. Por lo
tanto, si una ecuación no se altera al sustituir x por − x y y por − y simultáneamente, su
representación gráfica o lugar geométrico es simétrica respecto al origen.

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