DISEÑO RLC
Hacer el análisis del calculo de la corriente i que circula por un circuito eléctrico RLC como se muestra en la figura 1, considere los siguientes valores: v = 12 cos(t) , R = 1 L = 0.1 H; C = 1Fy f = 60 Hz
Figura 1 Circuito eléctrico RLC en serie.
Aplicando la Ley de voltajes de Kirchhoff
v = VR + VL + VC - - - - - - - - - - - - - - - - - (Ecuación 1)Y aplicando la Ley de Ohms tenemos que
VR = i R
VL = L
VC =
Sustituyendo las expresiones anteriores en la ecuación 1, tenemos el modelo matemático que describe el comportamiento dela corriente
v = i R + L +
La solución se obtendrá aplicando la Transformada de Laplace a cada término de la ecuación en ambos lados se tiene:
= V(s)
V(s) = = 12
= R I(s)
= L[sI(s) - iL(0)]
= [I(s) - iC(0)]
En forma de ecuación y sustituyendo las condiciones, que para este caso todas son cero.
12 = R I(s) + L [sI(s) - iL(0-)] + [I(s) - iC(0-)]
12 = R I(s) +LsI(s) + I(s)
Factorizamos I(s) en la ecuación anterior tenemos:
12= I(s)[ R + Ls + ]
Despejando I(s) tenemos
I(s) = =
De aquí tenemos las raíces del polinomio característicoson:
R + Ls + = Ls2 + Rs + = [s –()][s +()]
= 2f = 377 rad/s
12 =
Sustituyendo los valores de los parámetros del circuito
S1 = - 5 + 999.99i
S2 = - 5 - 999.99i
S3 = iS4 = -i
I(s) =
I(s) = +
Calculo de a1, a2, a3 y a4
= a1(-5+1000i)+a2
a1 = -120x10-6
a2 = - 7x10-4
= a3i + a4
a3 = 6.1806x10-8
a4 = 8.7847x10-9
I(s) = +
I(s) =-120x10-6 + (6.1806x10-8 )+
(4.5244x10-10 )()
I(s) = -120x10-6 +
(6.1806x10-8 )+ (4.5244x10-10 )()
Aplicando la transformada inversa de Laplace
i(t) = -120x10-6 [e-5t cos(3162.3t) +(2.635x10-4 )e-5t sen(3162.3t)] + (6.1806x10-8 )cos(t) + (4.5244x10-10) sen(t)
Aplicando la transformada inversa de Laplace
i(t) = 12 e-5t cos(3162.27t) – 18.97x10-3e-5t sen(3162.27t)...
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