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Congruencia de triángulos.

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CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

Dos figuras geométricas son congruentes si tienen el mismo tamaño y la misma forma.
DEFINICIÓN:
Dos triángulos son congruentes si tienen sus lados respectivamente congruentes, lo mismo
que sus ángulos.
Si ABC
DEF , entonces:

AB FD; AC DE; BC FE
A D; B F ; C E

Lados correspondientes son los que se oponen a ánguloscongruentes y viceversa.
Hay seis condiciones, que se pueden reducir a 3 mediante teoremas. Antes de demostrar los
teoremas se da el siguiente postulado
POSTULADO DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS. POSTULADO LADO – ANGULO –
LADO (L – A – L)
Dos triángulos son congruentes si dos lados y el ángulo que forman en uno, son
respectivamente congruentes a los dos lados y el ángulo que forman en el otro.Si

AB DF ; BC FE;B F
Entonces ABC
DEF

DEFINICIÓN: Un corolario es una proposición que no necesita prueba particular, sino que
se deduce fácilmente de lo demostrado antes.
TEOREMA: (COROLARIO DEL POSTULADO ANTERIOR)
Si dos triángulos rectángulos tienen sus catetos congruentes, entonces son congruentes.

AB

DE; BC

EF

ABC

DEF

Congruencia de triángulos.

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TEOREMAEn todo triangulo isósceles los ángulos de la base son congruentes
HIPÓTESIS:

ABC es isósceles con CA CB

TESIS: CAB

RAZÓN




1. En CA se toma un punto D y en CB se
toma un punto E, tal que CD CE
2. Trazamos DB y AE
3. CA CB
4. CD CE
5. C C
6. CAE
CBD
7. CAE CBD

AFIRMACIÓN
1. Postulado de construcción de segmentos
2. Dos puntos determinan un segmento
3.De hipótesis
4. De 1. Construcción.
5. Propiedad reflexiva
6. L – A – L. De 3, 4, 5
7. De 6. Ángulos correspondientes en
triángulos congruentes.
8. De 1

8. CD CE
9. CA + AD = CB + BE
10. CA + AD = CA + BE

BE
12. CDB CEA; DB

CBA

9. De 8. Adición de segmentos
10. Sustitución de 3 en 9
11. De 10. La ley cancelativa

11. AD

12. De 6. Partes correspondientes detriángulos congruentes
13. De 11 y 12. L – A – L
13. ABD
EAB
14. De 13. Ángulos correspondientes en
14. EAB DBA
triángulos congruentes.
15. De 14 y 7. Resta de ángulos.
15. CAB CBA
NOTA: Este teorema también se puede enunciar así: Si dos lados de un triangulo son
congruentes entonces los ángulos opuestos a ellos son congruentes.
COROLARIO:
En un triangulo equilátero sus ángulos soncongruentes, es decir es equiángulo.

AE

HIPÓTESIS:

ABC es un triángulo equilátero

TESIS: A

B

C

Congruencia de triángulos.

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TEOREMA
En todo triangulo isósceles la bisectriz del ángulo opuesto a la base es mediana, altura y
pertenece a la mediatriz de la base.
HIPÓTESIS: CD es la bisectriz de ACB
ABC es isósceles con CA CB
A–D–B
TESIS: CD es mediana, altura ypertenece a la mediatriz.

1. CA
2. 1

CB
2
3. CD CD

1. De hipótesis.

CDA
CDB
5. AD DB

4. De 1, 2 y 3. Postulado L – A – L
5. De 4. Por ser lados correspondientes en
triángulos congruentes.
6. De 5. Definición de punto medio

4.

6. D punto medio de AB
7. CD es mediana
8. CDA CDB
9. m (  CDA) + m (  CDB) = 180º
10. m (  CDA) + m (  CDA) = 180º
11. 2m (  CDA) = 180º,m (  CDA) = 90º
12. CD

AB

13. CD es altura



14. CD es mediatriz

2. De hipótesis. Definición de bisectriz.
3. Propiedad reflexiva

7. De 6. Definición de mediana
8. De 4, por ser ángulos correspondientes en
triángulos congruentes.
9. De hipótesis A – D – B. Forman un par
lineal
10. Sustitución de 8 en 9.
11. De 10. Propiedad de los Reales
12. De 11. Definición deperpendicularidad
13. De 12. Definición de altura
14. De 12 y 6. Definición de mediatriz.

NOTA: Se demuestra también que si en un triangulo, una altura es mediana o bisectriz
entonces el triangulo es isósceles. Que es el RECIPROCO del teorema anterior.
Demuéstrelo.
TEOREMA DE CONGRUENCIA. ANGULO LADO ANGULO (A – L – A)
Si dos triángulos tienen un lado congruente, adyacente a dos ángulos...