Diseño Aleatorio Bernoulli 2014

Taller de Muestreo en poblaciones finitas – Año 2014
APLICACIÓN – DISEÑO MUESTRAL BERNOULLI
ACLARACIÓN: El cálculo de los intervalos de confianza utilizando la variable aleatoria normal pueden ser
aplicados cuando el tamaño de muestra es grande (mayor a 30). Los cálculos realizados en el ejemplo 2
son en base a una población y muestra pequeña para mostrar cómo se computan los estimadores, susvarianzas y sus respectivos intervalos de confianza.

Diseño Aleatorio Bernoulli
Como primer paso fijamos la probabilidad de selección igual para todos los individuos de la población (

Una vez fijada la probabilidad de inclusión, generamos números aleatorios entre 0 y 1 (RN) para todos los
individuos de la población.
La muestra queda conformada por aquellos individuos donde RN es menor o igual a
Eltamaño de muestra es aleatorio (no es fijo), dependiendo de los números aleatorios generados es el
tamaño de muestra que se obtiene.
El tamaño de muestra esperado se define como
(

Y la varianza viene dada por
(
Ejemplo 1: de una población de tamaño
aleatorio Bernoulli con probabilidad

(
se selecciona una muestra aleatoria bajo un diseño

.

Esto implica que esperamos encuestar al 20 % de lapoblación, es decir, esperamos encuestar 1 de cada 5
individuos.
El tamaño de muestra esperado viene dada por
(

(

La varianza del tamaño de muestra esperado es
(

(

(

(

Teniendo en cuenta la varianza podemos calcular un intervalo de confianza para el tamaño de muestra del
95%
√
El 95% de las muestras tendrán un tamaño entre 1922 y 2078 encuestas.
En la siguiente gráfica se presenta la simulaciónde 1000 muestras bajo el diseño Bernoulli, el tamaño de
muestra se distribuye aproximadamente normal

Ponderadores de la muestra (

.

El ponderador de la muestra utilizando el estimador HT viene dado por el inverso de la probabilidad de
inclusión y son iguales para todos los individuos de la muestra.

Siguiendo el ejemplo 1, si

el ponderdor para cada uno de los individuos de la muestra es

Estoimplica que cada uno de los individuos de la población representa a otros 5 de la población.
Estimador de un total y su varianza
El estimador HT para el total de la variable de interés

∑

viene dado por

̂

∑

∑

∑

La varianza del estimador HT bajo un diseño aleatorio Bernoulli

(̂

(

)∑

Y un estimador de la misma es

̂( ̂

(

)∑

Ejemplo 2: A continuación se presentan datos de 12 personaspertenecientes a una empresa.
Salario semanal
(en miles $)
2
2.5
3.7
2.5
4
3
2.3
4.2
3.7
2.5
2.7
1.8

Persona
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
{

}

El objetivo es estimar el salario semanal total de los trabajadores

∑
Y el salario promedio semanal de los trabajadores de la empresa

Sexo
Hombre
Mujer
Mujer
Hombre
Mujer
Mujer
Mujer
Hombre
Hombre
Mujer
Hombre
Mujer

̅
Para estimar dichos parámetros seselecciona una muestra aleatoria bajo un diseño Bernoulli con
.
Bajo esta probabilidad el tamaño de muestra esperado es

.

Para la selección generamos números aleatorios entre 0 y 1 para cada uno de los individuos.
Salario semanal
(en miles $)
2
2.5
3.7
2.5
4
3
2.3
4.2
3.7
2.5
2.7
1.8

Persona
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

Sexo

RN

Hombre
Mujer
Mujer
Hombre
Mujer
Mujer
Mujer
Hombre
Hombre
MujerHombre
Mujer

0.203074004
0.831171446
0.103102694
0.326254225
0.168456389
0.602540275
0.249771591
0.479274888
0.935269265
0.51586208
0.168139029
0.407782862

Pertenece a la
muestra
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
0

Obs: Si utilizamos el Excel, podemos genera números aleatorios con la función =ALEATORIO()
La muestra (

queda conformada por aquellas personas donde RN es menor o igual a 0.30.
Persona
1
3
5
7
11Salario semanal
(en miles $)
2
3.7
4
2.3
2.7

Los ponderadores quedan definidos como
La estimación puntual del total de los salarios es

{

Sexo

Ponderador (

Hombre
Mujer
Mujer
Mujer
Hombre
}

3.33
3.33
3.33
3.33
3.33

.

)

̂

∑

(

∑

(

(

(

Una estimación de la varianza del estimador del total de los salarios semanales viene dada por

̂( ̂

(

)∑

)[

(

]

La estimación de la desviación...