Diseño de controladores digitales

Diseño de Controladores Digitales Método del Lugar de las Raíces
Dr. Rony Caballero

Criterios basados en el plano s
X
ξωn

s
1 − ξ ωn
2

z e-σT X θ X γ

z = e −σ T ± jωT = e −σ T ± jθ z=e
−ξωnT ± j 1−ξ 2 ωnT

ωn

X
Tiempo de asentamiento: Tiempo de levantamiento: Tiempo pico: Sobrepaso:
ts ≈ ts ≈ tr ≈ tp ≈ 4

⎛ e −σ T sen (θ ) ⎞ γ = π − atan ⎜ ⎜ 1 − e −σ T cos (θ ) ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ξωn
4.6

para 2% para 1% aprox. Franklin y otros

ξωn
1.8

ωn π

1 − ξ 2 ωn
−

πξ
1−ξ 2

Mp ≈e

sobrepaso

Criterios basados en el plano z
X
ξωn

s
1 − ξ ωn
2

z e-σT X θ X γ

z = e −σ T ± jωT = e −σ T ± jθ z=e
−ξωnT ± j 1−ξ 2 ωnT

ωn

X
Intervalo de establecimiento: Intervalo de subida: Intervalo de pico: Sobrepaso:
π σ γ nr ≈ θ π np ≈ θ
ns ≈ Mp ≈e
−⎛ e −σ T sen (θ ) ⎞ γ = π − atan ⎜ ⎜ 1 − e −σ T cos (θ ) ⎟ ⎟ ⎝ ⎠

πσ θ

Criterios Adicionales
Periodo de muestreo máximo. Ejem: para sistemas sobreamortiguados y para sistemas subamortiguados Error de estado estacionario mínimo: ess = 0 Constante de error de velocidad mínima
1 T ≤ tr 6 1 T≤ 1 − ξ 2 ωn

Selección de los parámetros del controlador
El número criterios seleccionados estarelacionado con los parámetros del controlador a seleccionar. Ejem: Si el controlador es proporcional solo podemos elegir un criterio (Ejem. el tiempo de asentamiento) debido a que solo podemos manipular la constante proporcional y en algunos casos el periodo de muestreo.

Selección de los parámetros del controlador
Si seleccionamos un punto en el plano s, necesitamos un controlador con almenos dos parámetros a elegir (Ejem. PD, PI, PID o Red de Adelanto-Retraso). Si el controlador seleccionado tiene más parámetros de los necesarios se pueden cancelar polos y ceros que afecten negativamente el comportamiento del sistema (usualmente los más cercanos al círculo unidad, pero dentro de este).

Ejemplo 1
Diseñe un controlador digital que los polos dominantes en lazo cerrado tengan unfactor de amortiguamiento relativo ξ de 0.5, un tiempo de asentamiento de 2 segundos y ess=0 frente a un escalón unitario. El periodo de muestreo T es de 0.2 segundos. Obtenga la constante de error de velocidad Kv. Gd(z) G (z)

R

+

e _ T

Controlador Digital

u

ZOH 1 − e −Ts s

Planta
1 s ( s + 2)

C

Ejemplo 1
ξωn

s
1 − ξ ωn
2

z e-σT θ X γ

z = e −σ T ± jωT = e −σT ± jθ z=e
−ξωnT ± j 1−ξ 2 ωnT

X

ωn

ξ = 0.5
X
ts = 2

X

ωn =

4 =4 ξ ts

z = e −0.4± j 0.6927 z = 0.5158 ± j 0.4281

T≤

1 = 0.289 3.4641

Ejemplo 1
Función de transferencia:

⎧ ⎫ 0.01758 ( z + 0.8760 ) 1 ⎪ ⎪ G ( z ) = (1 − z ) Z ⎨ 2 ⎬= ⎪ s ( s + 2 ) ⎪ ( z − 1)( z − 0.6703) ⎩ ⎭
−1

Constante de error de posición:

0.01758 ( z + 0.8760 ) K p = lim Gd ( z ) G ( z) = lim Gd ( z ) z →1 z →1 ( z − 1)( z − 0.6703 )
Esta será infinita si Gd(z) no tiene ningun cero en 1, lo que implica que el error de estado estacionario sería nulo.

0.01758 ( z + 0.8760 ) ⎛ 1 − z −1 ⎞ K v = lim ⎜ Gd ( z ) ⎟ Gd ( z ) G ( z ) = lim z →1 z →1 T ⎠ zT ( z − 0.6703) ⎝

Ejemplo 1: Controlador PD
Selección del controlador: 1) Controlador PD. Como el sistema a controlar es detipo uno no necesitamos agregar ningun término integral para obtener error de estado estacionario nulo. Por lo tanto las tres condiciones deseadas quedan simplificadas a dos.

⎛ z −α ⎞ Gd ( z ) = K ⎜ ⎟ ⎝ z ⎠
Por lo tanto el lugar de las raices debe cumplir con:
Gd ( z ) G ( z ) = 1 ∠Gd ( z ) G ( z ) = ±180 ( 2k + 1) =1 =1

( z − α ) 0.01758 ( z + 0.8760 ) z ( z − 1)( z − 0.6703) ( z − α )( z +0.8760 ) 0.01758 K z ( z − 1)( z − 0.6703)
K

( z − α ) 0.01758 ( z + 0.8760 ) = ±180 2k + 1 ( ) z z − 1)( z − 0.6703) ( ( z − α )( z + 0.8760 ) = ±180 2k + 1 ∠ ( ) z ( z − 1)( z − 0.6703)
∠K

Ejemplo 1: Controlador PD
Como el lugar debe pasar por:
∠

z = e −0.4± j 0.6927 = 0.5158 ± j 0.4281

( z − α )( z + 0.8760 ) = ±180 2k + 1 ( ) z ( z − 1)( z − 0.6703) ( 0.5158 ± j 0.4281 − α...