Diseño en espacio de estados

Instituto Tecnológico de Sonora

Teoría de Control II

Trabajo Final.

Jesús Eduardo Hinojos Ramos, 38844

Cd. Obregón, Sonora a 01 de Diciembre de 2010

Como trabajo final para la materia de Teoría de Control II se nos asignó lo siguiente:
1. Tomar un sistema de segundo orden o superior.
2. Obtener su función de transferencia y su representación en espacio de estados ysimularlo.
3. Determinar si el sistema es estable por medio de sus valores propios.
4. Diseñar un control con integrador para asignarle valores propios nuevos y mejorar su respuesta y en caso de que el sistema fuera inestable tratar de estabilizarlo y simularlo.
5. Diseñar un observador de estados con valores propios mínimo del doble de rapidez que el control para tratar de mejorar aún más larespuesta y simularlo.
6. Convertir el Espacio de Estados final del Sistema de Control Analógico a Espacio de Estados Digital.

Para el primer paso tomamos el siguiente sistema:

Éste sistema es el modelo electromecánico para un motor de CD, donde los parámetros indicados son los siguientes:
Ra = resistencia de armadura. eg = fuerza contraelectromotriz
Va = Voltaje de alimentación.Ja = momento de inercia de la armadura
La = Inductancia de armadura. a = Coeficiente de fricción (escobillas,
ia = corriente de armadura baleros y chumaceras).
T(t) = par de torsión generado por el motor. (t) = velocidad angular del motor.
 = flujo magnético generado por el campo. iexc = corriente de excitación del campo.
VF = voltaje del campo.

Diagrama del motor ysu sistema de sensado y potencia
Paso 2, función de transferencia:

Modelo general de función de transferencia de segundo orden para un motor de CD controlado por armadura con excitación separada constante.
Para el sistema en cuestión, éstos son los parámetros a considerar:
Parámetro | Símbolo | Valor | Unidades |
Resistencia de armadura | Ra | 5.3 | |
Inductancia de armadura | La |0.58 | mH |
Constante de eg | K1 | 0.027 | V / (rad/sec) |
Constante de par de fuerza | K2 | 0.027 | Nm / Amp |
Momento de inercia de la armadura | Ja | 1.57 x10-6 | Kg m2 |
Coeficiente de fricción viscosa | a | 6.00x10-6 | Nm seg |
Sensibilidad del tacómetro | Gt | .00955 | V / (rad/seg) |
Sensibilidad del sensor de corriente | Gi | 2.5 | V / Amp |
Voltaje máximo que soporta el motor| Vmax | 12.0 | V |
Corriente máxima que soporta el motor | Imax | 0.7 | Amp |
Voltaje máximo de salida del amplificador | Vamax | 12 | V |
Corriente máxima de salida del amplificador | Iamax | 1.5 | Amp |

Por tanto, nuestra función de transferencia queda de la siguiente forma:
, la cual nos da velocidad angular contra voltaje de entrada.
WSVaS=.0271.57x10-60.58x10-3S2+1.57X10-65.3+6x10-6.58X10-3S+.027.027+5.36X10-6

W(S)Va(S)=.0279.106x10-10S2+8.3245x10-6S+7.608x10-4
Con ciertas consideraciones se puede aproximar a un sistema de primer orden, sin embargo no es el objetivo de éste trabajo.
Factorizando el coeficiente del término cuadrático obtenemos lo siguiente:

W(S)Va(S)=2.9651x107S2+9.1418x103S+8.3549x105
Comparandolo con la forma general de un sistema de Segundoorden:
C(S)R(S)=KWnS2+2ζWnS+Wn2
Obtenemos que:
Wn=8.3549x105=914.0531 rad/s
K=2.9651x107Wn =2.9651x107914.0531 =3.2439x104
ζ=9.1418x1032Wn=9.1418x1032(914.0531)=5.0007
En base a éstos datos y al coeficiente de amortiguamiento podemos concluir que ésta planta tiene polos reales diferentes, pues ζ>1.
Analizando la ecuación característica del sistema y obteniendo los polos mediante fórmulageneral obtenemos que:
S=-b±b2-4ac2a=-9.1418x103±(9.1418x103)2-41(8.3549x105)2=-9.1418x103±8957.15062
Polos del sistema: S1=-92.3247 y S2=-9049.4753
Por lo tanto, el sistema es estable, pues sus polos son reales negativos.
Obtención del espacio de estados del sistema:
Partiendo de la función de transferencia:
W(S)Va(S)=2.9651x107S2+9.1418x103S+8.3549x105

El espacio de estados que se...