Diseño Experimental
Páginas: 47 (11626 palabras)
Publicado: 7 de julio de 2011
NOTA DEL AUTOR:
Las páginas que tenéis a continuación son el fruto de varias horas de trabajo, de hacer resúmenes e intentar entender las explicaciones y cálculos (muchas veces incorrectos) del libro. Es un material práctico y no teórico que intenta ayudar a aquellos, que como yo, están apasionados por el mundo de las Matemáticas y por ello cursan esta licenciatura. No pretende ser la panaceade la asignatura o el principal material de consulta pero sí una herramienta a utilizar en casos de necesidad. Como veis, el uso de mi material es gratuito. Así pues agradecería que siempre lo continuara siendo. Si no fuera así, rogaría que me lo comunicarais a la dirección de correo electrónico indicada más abajo. Los datos han sido extraídos del libro de texto o de varios ejercicios anexos,aunque algunas veces han sido modificados para facilitar la comprensión. Agradecería que cualquier error me fuera comunicado para su posterior corrección, a la dirección de correo joanpitarque@yahoo.es . Espero os sea de gran utilidad, tanto para aprender como para aprobar la asignatura.
Un saludo y un abrazo
Joan Pitarque (Curso 2001-2002)
EXPERIMENTO UNIFACTORIAL COMPLETAMENTE ALEATORIZADOLos siguientes datos se refieren a un experimento destinado a medir los efectos de la conductividad de cuatro tipos diferentes de revestimientos de los tubos de TV REVESTIMIENTO I II III IV 56 64 45 42 55 61 46 39 62 50 45 45 59 55 39 43 60 56 43 41 a) b) c) d) e) f) Mostrar el cuadro del Análisis de la Varianza Contrastar la hipótesis de que los efectos de los tratamientos son todos nulos Usarel test de la t de Student para contrastar diferencias entre las medias de los tratamientos Usar el test HSD de Tuckey para contrastar diferencias entre las medias de los tratamientos Usar el estadístico S de Scheffé para contrastar las hipótesis H 0 : ψ = 0 donde ψ son los contrastes estimables siguientes ψ 1 = τ1 − τ 2 ; ψ 2 = 3τ1 − τ 2 − τ 3 − τ 4 Contrastar la hipótesis de que cada uno de loscontrastes dados por la siguiente tabla es nulo τ1 τ2 τ3 τ4 C1 +1 0 0 -1 C2 0 +1 -1 0 C3 +1 -1 -1 +1
Solución comentada: a) Para construir la tabla ANOVA son necesarios los siguientes cálculos: • Número de tratamientos t = 4 • Numero de observaciones en cada tratamiento ri = 5 • Número total de observaciones N = 20 • Totales Ti 292 286 218 210 Ti = 1006
I II III IV • • Fuente TratamientoError TOTAL St = Se
i 2
56 64 45 42
55 61 46 39
2
62 50 45 45
59 55 39 42
60 56 43 41 G=
∑
Parámetro C = G / N = 1006 / 20 = 50601.8
∑y
2 ij
= 51940 Suma de cuadrados (MC) G de l t −1 = 3 N − t = 16 N − 1 = 19 EMC (Esperanza de la media de cuadrados) M t = S t / t − 1 = 378.3
∑ T / r − C = 51736.8 − 50601.8 = 1135 = ∑ y − ∑ T / r = 51940 − 51736.8 = 203.2 S + S = ∑y − C = 1338.2
2 i 2 ij i 2 i t e 2 ij
M e = s 2 = S e / N − t = 12.7
b) La hipótesis H 0 : τ1 = ... = τ j de que los efectos de los tratamientos son nulos, es decir, no hay diferencias entre los tratamientos, se contrasta con el estadístico F (t − 1, N − t ) = M t / s 2 F (3,16) = 378.33 / 12.7 = 29.79
La hipótesis se rechaza si F > Fα , donde α es el nivel de significación. En nuestrocaso F (3,16) 0.05 = 3.24 < F F (3,16) 0.01 = 5.29 < F por lo que rechazamos la hipótesis H 0 y admitimos que los efectos de los tratamientos NO son nulos. c) Hallaremos la diferencia mínima significativa (LSD) LSD = t N −t ,α 2 s 2 / r = t16,0.05 2·12.7 / 5 = 2.120· 2·12.7 / 5 = 4.78 teniendo en cuenta que la región crítica siempre está formada por las dos colas de las distribución por lo que sedebe tomar t16, 0.025 . Si hallamos ahora las medias de los tratamientos y1• = 292 / 5 = 58.4 y 2• = 57.2 y 3• , y 4• , pues y1• , y 2• + LSD < y 3• , y 4• En la práctica es más útil hacer un cuadro de diferencias en valor absoluto y1• y 2• y 3• y 4• y1• ----- 1.2 14.8 16.4 y 2• y 3• y 4• ------------------------13.6 --------15.2 1.6 ----y 3• = 43.6 y 4• = 42
de donde se deduce que los...
Las páginas que tenéis a continuación son el fruto de varias horas de trabajo, de hacer resúmenes e intentar entender las explicaciones y cálculos (muchas veces incorrectos) del libro. Es un material práctico y no teórico que intenta ayudar a aquellos, que como yo, están apasionados por el mundo de las Matemáticas y por ello cursan esta licenciatura. No pretende ser la panaceade la asignatura o el principal material de consulta pero sí una herramienta a utilizar en casos de necesidad. Como veis, el uso de mi material es gratuito. Así pues agradecería que siempre lo continuara siendo. Si no fuera así, rogaría que me lo comunicarais a la dirección de correo electrónico indicada más abajo. Los datos han sido extraídos del libro de texto o de varios ejercicios anexos,aunque algunas veces han sido modificados para facilitar la comprensión. Agradecería que cualquier error me fuera comunicado para su posterior corrección, a la dirección de correo joanpitarque@yahoo.es . Espero os sea de gran utilidad, tanto para aprender como para aprobar la asignatura.
Un saludo y un abrazo
Joan Pitarque (Curso 2001-2002)
EXPERIMENTO UNIFACTORIAL COMPLETAMENTE ALEATORIZADOLos siguientes datos se refieren a un experimento destinado a medir los efectos de la conductividad de cuatro tipos diferentes de revestimientos de los tubos de TV REVESTIMIENTO I II III IV 56 64 45 42 55 61 46 39 62 50 45 45 59 55 39 43 60 56 43 41 a) b) c) d) e) f) Mostrar el cuadro del Análisis de la Varianza Contrastar la hipótesis de que los efectos de los tratamientos son todos nulos Usarel test de la t de Student para contrastar diferencias entre las medias de los tratamientos Usar el test HSD de Tuckey para contrastar diferencias entre las medias de los tratamientos Usar el estadístico S de Scheffé para contrastar las hipótesis H 0 : ψ = 0 donde ψ son los contrastes estimables siguientes ψ 1 = τ1 − τ 2 ; ψ 2 = 3τ1 − τ 2 − τ 3 − τ 4 Contrastar la hipótesis de que cada uno de loscontrastes dados por la siguiente tabla es nulo τ1 τ2 τ3 τ4 C1 +1 0 0 -1 C2 0 +1 -1 0 C3 +1 -1 -1 +1
Solución comentada: a) Para construir la tabla ANOVA son necesarios los siguientes cálculos: • Número de tratamientos t = 4 • Numero de observaciones en cada tratamiento ri = 5 • Número total de observaciones N = 20 • Totales Ti 292 286 218 210 Ti = 1006
I II III IV • • Fuente TratamientoError TOTAL St = Se
i 2
56 64 45 42
55 61 46 39
2
62 50 45 45
59 55 39 42
60 56 43 41 G=
∑
Parámetro C = G / N = 1006 / 20 = 50601.8
∑y
2 ij
= 51940 Suma de cuadrados (MC) G de l t −1 = 3 N − t = 16 N − 1 = 19 EMC (Esperanza de la media de cuadrados) M t = S t / t − 1 = 378.3
∑ T / r − C = 51736.8 − 50601.8 = 1135 = ∑ y − ∑ T / r = 51940 − 51736.8 = 203.2 S + S = ∑y − C = 1338.2
2 i 2 ij i 2 i t e 2 ij
M e = s 2 = S e / N − t = 12.7
b) La hipótesis H 0 : τ1 = ... = τ j de que los efectos de los tratamientos son nulos, es decir, no hay diferencias entre los tratamientos, se contrasta con el estadístico F (t − 1, N − t ) = M t / s 2 F (3,16) = 378.33 / 12.7 = 29.79
La hipótesis se rechaza si F > Fα , donde α es el nivel de significación. En nuestrocaso F (3,16) 0.05 = 3.24 < F F (3,16) 0.01 = 5.29 < F por lo que rechazamos la hipótesis H 0 y admitimos que los efectos de los tratamientos NO son nulos. c) Hallaremos la diferencia mínima significativa (LSD) LSD = t N −t ,α 2 s 2 / r = t16,0.05 2·12.7 / 5 = 2.120· 2·12.7 / 5 = 4.78 teniendo en cuenta que la región crítica siempre está formada por las dos colas de las distribución por lo que sedebe tomar t16, 0.025 . Si hallamos ahora las medias de los tratamientos y1• = 292 / 5 = 58.4 y 2• = 57.2 y 3• , y 4• , pues y1• , y 2• + LSD < y 3• , y 4• En la práctica es más útil hacer un cuadro de diferencias en valor absoluto y1• y 2• y 3• y 4• y1• ----- 1.2 14.8 16.4 y 2• y 3• y 4• ------------------------13.6 --------15.2 1.6 ----y 3• = 43.6 y 4• = 42
de donde se deduce que los...
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