Diseño Experimental
Páginas: 16 (3965 palabras)
Publicado: 1 de agosto de 2011
Sección 2: Bloque Completamente Aleatorio y Cuadrado Latino
1. Bloque Completamente Aleatorio
En cualquier experimento puede existir alguna fuente de variación que puede afectar los resultados. Muchas veces esta fuente de variación es desconocida e incontrolable. La aleatoriedad es una técnica de diseño que se utiliza con el propósito de cancelar efectos de variables que no estamoscontrolando ya sea porque no podamos controlarlas o porque no se conoce. Cuando se habla de aleatoriedad significa que se conduce al azar y no se le impone una estructura. Cuando esa fuente de variación se conoce y se controla (ya sea por aleatoriedad) se utiliza una técnica llamada bloque para eliminar sistemáticamente el efecto de la fuente de variación en las comparaciones estadísticas entretratamientos.
Descripción: Un diseño de experimento es completamente aleatorio cuando hay: • • Un factor de interés. Una fuente bloqueada.
Si hay alguna fuente de variación que está incidiendo en el experimento y que no está en el modelo, el efecto de esta fuente de variación se va a reflejar en el error si la variable que representa dicha variación no es bloqueada. La aleatoriedad ocurre dentro delbloque.
Figura 1. Diseño de bloque completamente aleatorio.
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Sección 2: Bloque Completamente Aleatorio y Cuadrado Latino Modelo Estadístico:
i = 1,2,..., a y ij = µ + τ i + β j + ε ij , j = 1,2,..., b
donde: y ij → observación j del tratamiento i
µ → promedio general τ i → efecto del tratamiento i ε ij → error o residual de la observación j en el tratamiento i
β j → efectodel bloque j
En los experimentos que envuelven diseños de bloques completamente aleatorio, se interesa probar la igualdad de los promedios de los tratamientos. Por lo tanto, las hipótesis de interés son H 0 : µ1 = µ 2 = ⋅ ⋅ ⋅ = µ a H1 : at ⋅ least ⋅ one ⋅ µ i ≠ µ j Debido a que el promedio del tratamiento i es µ i = µ + τ i , una forma equivalente de escribir la hipótesis es en términos de losefectos en los tratamientos, entonces H 0 : τ1 = τ 2 = ⋅ ⋅ ⋅ = τ a = 0 H1 : τ i ≠ 0 ⋅ at ⋅ least ⋅ one ⋅ i
Análisis de Varianza (ANOVA) para este modelo:
El análisis de varianza se deriva de la partición de la variabilidad total en las partes que la componen. ANOVA establece que la variabilidad total en la data, medida por la suma de cuadrados total, puede ser dividida en una suma decuadrados de la diferencia entre los promedios de los tratamientos y el gran promedio total más una suma de cuadrados de la diferencia de las observaciones entre tratamientos del promedio del tratamiento. Para aclarar la definición primero definiremos las variables que componen las ecuaciones de ANOVA.
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Sección 2: Bloque Completamente Aleatorio y Cuadrado Latino Tenemos que yi• es el total detodas las observaciones tomadas bajo el tratamiento i, y • j es el total de todas las observaciones tomadas en el bloque j, y •• es el gran total de todas las observaciones y
N = ab es el número total de observaciones. Expresadas en forma matemática tenemos
yi • = ∑ yij
j =1
a
b
i = 1,2, K , a j = 1,2, K , b
a b
y • j = ∑ y ij
i =1 a b
y•• = ∑ ∑ y ij = ∑ yi • = ∑ y • j
i =1 j =1i =1 j =1
De igual forma, y i • es el promedio de las observaciones tomadas en el tratamiento i, y • j es el promedio de las observaciones en el bloque j y y •• es el promedio del gran total de todas las observaciones. Esto es,
y i • = yi • b
y • j = y• j a
y •• = y •• N
La suma de cuadrados total puede ser expresada como
∑∑ (y
a b i =1 j =1
ij
− y ••
) = ∑∑ [(y
2 a bi =1 j =1
i•
− y •• + y • j − y •• + y ij − y i• − y • j + y ••
) (
) (
)]
2
Expandiendo el lado derecho de la ecuación y haciendo algebra simple pero tediosa obtenemos la ecuación que representa una partición del total de la suma de cuadrados pero que es una de las ecuaciones fundamentales en ANOVA para el diseño de bloque completamente aleatorio. La ecuación es
∑∑ (y
a...
1. Bloque Completamente Aleatorio
En cualquier experimento puede existir alguna fuente de variación que puede afectar los resultados. Muchas veces esta fuente de variación es desconocida e incontrolable. La aleatoriedad es una técnica de diseño que se utiliza con el propósito de cancelar efectos de variables que no estamoscontrolando ya sea porque no podamos controlarlas o porque no se conoce. Cuando se habla de aleatoriedad significa que se conduce al azar y no se le impone una estructura. Cuando esa fuente de variación se conoce y se controla (ya sea por aleatoriedad) se utiliza una técnica llamada bloque para eliminar sistemáticamente el efecto de la fuente de variación en las comparaciones estadísticas entretratamientos.
Descripción: Un diseño de experimento es completamente aleatorio cuando hay: • • Un factor de interés. Una fuente bloqueada.
Si hay alguna fuente de variación que está incidiendo en el experimento y que no está en el modelo, el efecto de esta fuente de variación se va a reflejar en el error si la variable que representa dicha variación no es bloqueada. La aleatoriedad ocurre dentro delbloque.
Figura 1. Diseño de bloque completamente aleatorio.
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Sección 2: Bloque Completamente Aleatorio y Cuadrado Latino Modelo Estadístico:
i = 1,2,..., a y ij = µ + τ i + β j + ε ij , j = 1,2,..., b
donde: y ij → observación j del tratamiento i
µ → promedio general τ i → efecto del tratamiento i ε ij → error o residual de la observación j en el tratamiento i
β j → efectodel bloque j
En los experimentos que envuelven diseños de bloques completamente aleatorio, se interesa probar la igualdad de los promedios de los tratamientos. Por lo tanto, las hipótesis de interés son H 0 : µ1 = µ 2 = ⋅ ⋅ ⋅ = µ a H1 : at ⋅ least ⋅ one ⋅ µ i ≠ µ j Debido a que el promedio del tratamiento i es µ i = µ + τ i , una forma equivalente de escribir la hipótesis es en términos de losefectos en los tratamientos, entonces H 0 : τ1 = τ 2 = ⋅ ⋅ ⋅ = τ a = 0 H1 : τ i ≠ 0 ⋅ at ⋅ least ⋅ one ⋅ i
Análisis de Varianza (ANOVA) para este modelo:
El análisis de varianza se deriva de la partición de la variabilidad total en las partes que la componen. ANOVA establece que la variabilidad total en la data, medida por la suma de cuadrados total, puede ser dividida en una suma decuadrados de la diferencia entre los promedios de los tratamientos y el gran promedio total más una suma de cuadrados de la diferencia de las observaciones entre tratamientos del promedio del tratamiento. Para aclarar la definición primero definiremos las variables que componen las ecuaciones de ANOVA.
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Sección 2: Bloque Completamente Aleatorio y Cuadrado Latino Tenemos que yi• es el total detodas las observaciones tomadas bajo el tratamiento i, y • j es el total de todas las observaciones tomadas en el bloque j, y •• es el gran total de todas las observaciones y
N = ab es el número total de observaciones. Expresadas en forma matemática tenemos
yi • = ∑ yij
j =1
a
b
i = 1,2, K , a j = 1,2, K , b
a b
y • j = ∑ y ij
i =1 a b
y•• = ∑ ∑ y ij = ∑ yi • = ∑ y • j
i =1 j =1i =1 j =1
De igual forma, y i • es el promedio de las observaciones tomadas en el tratamiento i, y • j es el promedio de las observaciones en el bloque j y y •• es el promedio del gran total de todas las observaciones. Esto es,
y i • = yi • b
y • j = y• j a
y •• = y •• N
La suma de cuadrados total puede ser expresada como
∑∑ (y
a b i =1 j =1
ij
− y ••
) = ∑∑ [(y
2 a bi =1 j =1
i•
− y •• + y • j − y •• + y ij − y i• − y • j + y ••
) (
) (
)]
2
Expandiendo el lado derecho de la ecuación y haciendo algebra simple pero tediosa obtenemos la ecuación que representa una partición del total de la suma de cuadrados pero que es una de las ecuaciones fundamentales en ANOVA para el diseño de bloque completamente aleatorio. La ecuación es
∑∑ (y
a...
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