diseño tanque acetaldehido

SOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE CONDUCCIÓN EN UN CILINDRO HUECO
EN EL ESTADO TRANSITORIO CON EL MÉTODO DE SEPARACIÓN DE
VARIABLES: CASO TÍPICO.

CESAR AUGUSTO SÁNCHEZ C
APUNTES PARA LA CLASE DE TRANSFERENCIA DE CALOR I

1. INTRODUCCIÓN

Según discutimos en clase, cierta variedad de problemas de conducción pueden
abordarse con el método de separación de variables con la condición de que en ladirección espacial resulte un problema de Sturm – Liouville. La utilización del
procedimiento implica la suposición de propiedades independientes de la temperatura.
Esto sólo resulta cierto para pequeños cambios de temperatura. En otros casos será
necesario recurrir a procedimientos completamente numéricos para tener en cuenta las
variaciones de las propiedades.
Como caso de discusión seplanteó el problema del enfriamiento de un cilindro con un
hueco sobre el eje axial, por la inmersión de este en un medio fluido frio. Suponemos
también que la relación entre la longitud y el radio del cilindro es grande (a esto se
refieren los textos cuando sugieren el nombre de cilindro infinito), de tal manera que
podamos despreciar los efectos de la conducción axial. Según esto, el balance deenergía resulta en la siguiente ecuación diferencial en derivadas parciales:

1   T  1 T
r

r r  r   t

(1)

Con las condiciones de frontera:

k

k

T
r

T
r

r  Ro

r  Ri

 h T  T  r  R

(2.1)

o

 h T  T  r  R

i

(2.2)

T  r , t  0   T0

(2.3)

Ahora transformamos el problema en términos de una temperaturaa-dimensional que
torna homogéneas a las condiciones de frontera (de la parte espacial) y conserva la
ecuación diferencial. Con la definición habitual:



T  T
T0  T

(3)

Entonces:

1     1 
r

r r  r   t

(4)

Con las condiciones de frontera:


r

r

r  Ro

h
 
k

r  Ro

r  Ri

h
 
k

r  Ri

0

(5.1)

0

(5.2)

 r, t  0   1

(5.3)

Proponemos una solución de la forma:

  r, t     r    t 

Y separamos las variables:

(6)

1 d  d 
d
r
 1
r dr  dr 
 dt   2

 

(7)

Escogemos el signo negativo en (7) para que la solución de la parte temporal se
encuentre acotada en el tiempo. Al resolver cada una de las ecuaciones en (7)
obtenemos:

  r   AJ 0   r  BY0   r 

(8)

  t   cet

(9)

2

Las condiciones de frontera resultantes sobre (8) serian:

d
dr
d
dr

r  Ro

h
 
k

r  Ro

r  Ri

h
 
k

r  Ri

0

(10.1)

0

(10.2)

Después de aplicar (10.1) y (10.2):

 Bi o

 Bi o

A
J 0   Ro   J 1   Ro   B 
Y0   Ro   Y1   Ro   0
  Ro

  Ro


(11.1) Bi i

 Bi i

A
J 0   Ri   J 1   Ri   B 
Y0   Ri   Y1   Ri   0
  Ri

  Ri


(11.2)

Donde Bi i y Bi o son los números de Biot basados en el radio interior y exterior,
respectivamente. Con el propósito de facilitar la posterior manipulación definimos los
siguientes símbolos:

a11 

Bi o
J   Ro   J 1   Ro 
 Ro 0

(12)

a12 

Bi oY   Ro   Y1   Ro 
 Ro 0

(13)

a21 

Bi i
J   Ri   J
 Ri 0

(14)

a22 

Bi i
Y   Ri   Y1   Ri 
 Ri 0

1

  Ri 

(15)

Podemos entonces poner (11.1) y (11.2) como sigue:

A

a12
B
a11

(16)

A

a22
B
a21

(17)

Al igualar (16) y (17) obtenemos la ecuación característica:

f     a11a22  a12a21  0

(18)

Yconcluimos que las funciones características resultan ser:



 n  r   Bn Y0  n r  



a12  n 
J 0  n r  
a11  n 


(19)

En acuerdo con (7), las funciones determinadas por (19) son ortogonales respecto de r:



Ro

Ri

r n  r  k  r  dr  0 , n  k

(20)

La solución completa para la temperatura a-dimensional es en tanto:





  r, Fo  ...