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5. LA CIRCUNFENRENCIA
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Introducción
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La circunferencia es una curva plana cerrada formada por todos los puntos del plano que equidistan de un punto interior, llamado centro de la circunferencia. La distancia común se llama radio. Así que si C es el centro y r > 0 es el radio, la circunferencia de centro C yradio r que denotaremos C(C;r) es el conjunto siguiente:
C (C; r) = {P tal que = r}
..
5.1. ECUACIÓN ANALÍTICA DE LA CIRCUNFERENCIA
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Supóngase que el centro C tiene coordenadas (h, k) respecto a un sistema ortogonal de ejes x-y con origen 0 y que el radio es r. Sea P (x, y) un punto de la C (C; r).


Entonces:

Es decir,

Por lotanto:
(1)
fig. 5.1.
Así que C(C(h, k); r) = {P(x, y) R2/ (x – h)2 + (y – k)2 = r2} y la ecuación (1) representa la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C(h, k) y de radio r.
Si C está en el origen, h = k = 0 y la ecuación de la C(o; r) es x2 + y2 = r2.
La C(0, 5) tiene por ecuación: x2 + y2 = 25. (1)
El punto A(3, 4) C(0, 5) ya que:
32 + 42 = 25
De (1) se deduceque:
Lo que muestra que:
para todo x  [-5, 5], el punto
está en la semicircunferencia superior y que
para todo x  [-5, 5], el punto
Está en la semicircunferencia inferior.
fig. 5.2.
....
5.2. CONDICIÓN PARA QUE LA ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO EN DOS VARIABLES X E Y REPRESENTE UNA CIRCUNFERENCIA.
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La expresión Ax2 + 2Bxy + Cy2 +2Dx + 2Ey + F = 0 (2)
Donde A, B, C, ... son números reales conocidos, se llamará la ecuación general de segundo grado en las variables x e y.
Nótese que cuando A = B = C = 0, la ecuación (2) tiene la forma 2Dx + 2Ey + F = 0 que representa una recta (siempre y cuando D y E no sean ambos cero).
La ecuación 3x2 - 2xy + 5y2 - x + 5y + 7 = 0 tiene la forma (2).
En este caso A = 3, 2B = -2, C =5, 2D = -1, 2E = 5 y F = 7
Supóngase ahora que en la ecuación (2), B = 0, A = C 0.
Luego de dividir por A, (2) toma la forma:
x2 + y2 + 2dx + 2ey + f = 0 (3) donde
Completando trinomios cuadrados perfectos en (3) se tiene:
(x2 + 2dx + d2) + (y2 + 2ey + e2) = d2 + e2 – f
ó (x + d)2 + (y + e)2 = d2 + e2 – f (4)
En el análisis de (4) pueden presentarse tres casos:
Si d2 + e2 – f >0, podemos hacer r2 = d2 + e2 – f y escribir
(x + d)2 + (y + e)2 = r2 Luego, si d2 + e2 – f > 0, la ecuación (4) representa la circunferencia de centro en C (-d, -e) y radio
Cuando d2 + e2 – f = 0, (4) toma la forma (x + d)2 + (y + e)2 = 0, ecuación que solo es satisfecha por las coordenadas del punto C(-d, -e).
Luego, si d2 + e2 – f = 0, el único punto del plano que satisface (2) es elpunto C(-d, -e).
Si d2 + e2 – f < 0, no hay ningún punto del plano que satisfaga (2). Esto significa que {(x, y)R2/ x2 + y2 + 2dx + 2ey + f = 0}= 

....
5.3. ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA DETERMINADA POR TRES CONDICIONES
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Considere de nuevo la ecuación: x2 + y2 + 2dx + 2ey + f = 0 (3)
Según se ha establecido, si d2 + e2 – f > 0, la ecuación anteriorrepresenta la circunferencia de centro en C (-d, -e) y radio

Si se regresa a (4) se observa que para poder tener determinada la circunferencia se necesita determinar los valores de tres parámetros: d, e y f.
El ejemplo 1. de la sección 5.5. muestra como encontrarlos dando tres condiciones que debe cumplir la curva que se pide.
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Elementos de la circunferencia
Radio: Es unsegmento que une el centro de la circunferencia con cualquier punto de ella.
El radio se nombra con la letra “r” o bien con sus puntos extremos.
La medida del radio es constante.

Cuerda: es el segmento que une dos puntos de la circunferencia. Las cuerdas tienen distintas medidas.
Diámetro: Es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.
El diámetro es la cuerda de mayor medida....