Dise O De Controladores Y Compensadores Con LGR

PS-2320

Control de Procesos II

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XI. COMPENSACIÓN UTILIZANDO EL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES
El lugar geométrico de las raíces representa la ubicación de las raíces de la ecuación
característica a lazo cerrado cuando se varía un parámetro (generalmente, la ganancia de
lazo abierto). A partir del mismo se puede tener una muy buena idea del comportamiento
temporal del sistema.

Es por ello,que se utiliza para diseñar compensadores y/o

controladores cuando los requerimientos de los mismos sean requerimientos temporales
(Ejemplo: ess, Mp, ts).
Para visualizar la variación que puede tener el comportamiento de un sistema al añadir
polos o ceros, se mostrará inicialmente ambos casos y luego se concretará al estudio de los
compensadores sobre la respuesta del sistema.

11.1
11.1.1VARIACIÓN DEL LGR AL AÑADIR POLOS O CEROS
Adición de Polos:

Al Lugar Geométrico de las Raíces que se muestra en la figura 1.1 (i) se le añadirán polos
para observar su efecto:

FIGURA 11.1. ADICIÓN DE POLOS EN UN LGR

( i ) El sistema es estable para todo K, la respuesta siempre será exponencial pues, las
raíces son siempre reales. A medida que aumenta K, el tiempo de establecimiento y el errordisminuyen debido a que la raíz del sistema a lazo cerrado se traslada hacia la derecha.
( ii ) Al añadir un polo en el origen, mejora el error drásticamente pues aumenta el tipo del
sistema, pero el tiempo de establecimiento desmejora. La respuesta puede ser oscilatoria,
pues aparecen raíces imaginarias, pero sigue siendo estable para todo K.

Prof. Jenny Montbrun Di Filippo

Prof. Yamilet SánchezMontero

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( iii ) Al añadir otro polo, mejora aun más la respuesta permanente pero, desmejora la
respuesta transitoria y se ve afectada la estabilidad, pues ahora existe un valor límite de la
ganancia.
11.1.2. Adición de Ceros:
Para analizar el efecto de añadir ceros se partirá del LGR mostrado en la figura 1.1 (iii)

(i)

(ii)

FIGURA 11.2. ADICIÓN DE CEROS ENUN LGR

( i ) Al añadir un cero al sistema de la figura (iii), este pasa a ser estable para todo K y
mejora la respuesta transitoria.
( ii ) Al añadir otro cero, la variación del LGR muestra que los polos dominantes del
sistema se trasladan hacia la izquierda, lo que implica una mejora en respuesta transitoria.
Dependiendo de la ubicación de los ceros, el tiempo de establecimiento variará.
Sepuede observar que, al añadir polos o ceros en el lazo directo se logra modificar el
Lugar Geométrico de las Raíces (LGR), lo que se traduce a una modificación en la
respuesta temporal a lazo cerrado.
Además, se puede concluir que la adición de polos en el origen mejora la respuesta
permanente, desmejorando la respuesta transitoria, en cambio, la adición de ceros mejora la
transitoria. A continuaciónse procederá a mostrar los procedimientos de diseño para añadir
distintos tipos de compensadores adelanto, atraso y adelanto - atraso

11.2

COMPENSACIÓN EN ADELANTO:

La función de transferencia del compensador es igual a la estudiada anteriormente para el
caso frecuencial, donde 0,07 < α < 1, por lo que el máximo ángulo que proporcionará el
adelanto será de 60º.

 Ts + 1 
Gc(s) = α 
Kc
αTs + 1 

Prof. Jenny Montbrun Di Filippo

Prof. Yamilet Sánchez Montero

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El cero ocurre en s = -1/τ, y el polo en s = -1/ατ, tal como se muestra en la figura 11.3, a
partir de alli se observa que el valor del ángulo del cero es γ y el ángulo del polo es β, por
lo que, al añadir el compensador en adelanto, la condición de ángulo se verá modificada en
un valorigual a φ = γ - α, tal como se observa en la figura 11.3. Debido a ésto, este tipo de
compensador se utiliza cuando es necesario modificar el L.G.R. para mejorar la respuesta
transitoria del sistema a lazo cerrado.

αz > αp
αp
−1/ατ

Polo deseado
αz - αp = φ

αz
−1/τ

φ : ángulo proporcionado por adelanto

FIGURA 11.3 CERO Y POLO DEL ADELANTO

11.2.1

PROCEDIMIENTO DE DISEÑO

1) A partir de las...