Dise O De Ejes Y Arboles

T E M A 3 .- T O R S I Ó N . C A L C U L O D E A R B O L E S Y E J E S .

INTRODUCCIÓN

TORSIÓN DE BARRAS DE SECCIÓN CIRCULAR

El término árbol se usa para referirse a un
elemento giratorio que a una velocidad de rotación
determinada transmite una potencia.

Sea una barra recta de sección circular de radio
R empotrada en uno de sus extremos sometida en
el extremo libre a una torsión generada porun par
M. Una barra trabajando de esta forma se dice que
está sometida a torsión pura.

El termino eje se utiliza para definir una pieza
estacionaria sobre la que hay montadas ruedas
giratorias.
Un árbol de transmisión llamado también árbol
principal es aquel que recibe la potencia de una
máquina motriz y la transmite a maquinas
conectadas a el por medio de correas, cadenas o
engranajes.
El hechode transmitir una potencia desde un
motor implica una velocidad angular (que debe
expresarse en radianes/segundo) y un par que
genera en el árbol la denominada torsión.
En general se dice que cuando un miembro
estructural se carga con momentos que producen
rotación alrededor de su eje longitudinal se produce
torsión. Este tipo de solicitaciones se presentan en
la Figura 1, en la que cada pareja defuerzas genera
un par de fuerzas o momento de valor igual al
producto de las fuerzas por la distancia entre sus
líneas de acción. El primer par tendrá de valor M1 =
P1· d1 y el segundo par tendrá de valor M2 =
P2· d2.

Si se analiza una sección transversal se observa
que ha girado un ángulo, que los radios siguen
rectos y que permanece plana y circular. Se puede
considerar que la longitud de labarra y su radio, si
el ángulo girado es pequeño, no varían.
Durante la torsión ocurre una rotación alrededor
del eje longitudinal de un extremo de la barra
respecto al otro. Si el ángulo girado es φ, ángulo
que se conoce como ángulo de torsión, una línea
generatriz de la barra nn girará pasando a la
posición nn'. Debido a la rotación un elemento de
longitud infinitesimal dx en la barra girará unángulo
dψ
ψ y si se considera la superficie determinada por
abcd en el elemento de longitud pasará a ocupar la
a b'c'd. Los vértices ya no miden 90º.

M n

φφ

n
M

M

b'
c

dx

c'

L

dx

dA

r

ρρ

P1

d γγ
d

x

dψ
ψ

b

a
M

n'

d ρρ

P2

d1

ττ

Figura 2.- Elemento de barra sometida a torsión pura.

d2
P1

El ángulo dγ de la figura anterior se calcula como
sigue:

P2

tg dγ =

bb'
ab

Figura1.- Barra sujeta a torsión.

El par o momento es un vector perpendicular al
plano determinado por la fuerza y a
l distancia al
punto considerado.
En este tema se van a estudiar fórmulas para la
determinación de tensiones y deformaciones en
arboles y ejes sometidos a torsión y también a
torsión combinada con otras cargas.

Y como el ángulo es muy pequeño, la tangente
del ángulo tiende al ángulo, porlo que:
dγ
γ=

bb'
ab

Como:

bb' = r.dψ y ab = dx
22

Se tiene que:

De donde despejando se tiene:
dγ =

r.d ψ
dx

τ=

Un par M aplicado en el extremo libre de una
barra de sección transversal circular, cuyo otro
extremo está empotrado origina en una sección AA
un estado de tensión que puede deducirse
aplicando el Principio de Fragmentación de la
Estática al sólido parcial comprendido entre lasección AA y el extremo libre en el que se aplica el
par.
A

τ
M

τ

(I)

La ecuación (I) se denomina formula de la
torsión y establece que el esfuerzo cortante
máximo es directamente proporcional al par
aplicado y al radio de la sección circular de la barra
e inversamente proporcional al momento polar de
inercia.
Como en una barra maciza de sección circular el
momento polar de inercia vale:

dAτi

τ
τ B
τ

r

M•r
Io

Io =
ri

π.d4
32

Y r = d/2 , sustituyendo en la formula de torsión
se tiene que:

A
Figura 3.- Barra en voladizo de sección circular con un par
aplicado en su extremo libre.

La resultante de las acciones tangenciales de la
parte izquierda sobre el sólido considerado a lo
largo de la sección debe ser nula ya que el sistema
de fuerzas aplicado es un par.
Es lógico suponer...