Disertacion

MAT 105 - C´
alculo Diferencial
Disertaci´
on N◦ 2

1. Encuentre cota superior e inferior para el conjunto {x2 + 1 : −1 ≤ x ≤ 1}
{
}
1
2. Considere el siguiente conjunto B= x ∈ R :
>2 .
|x + 1|
a) ¿Es el conjunto B acotado superiormente? Si lo es, determine una cota superior, sino justifique
adecuadamente.
b) ¿Es el conjunto B acotadoinferiormente ? Si lo es, determine una cota inferior, sino justifique
adecuadamente.
c) ¿Existe un elemento que sea el supremo del conjunto B? Justifique su respuesta.
3.Fibonacci propuso este problema: supongamos que la vida de los conejos es eterna y que cada mes
cada pareja produce una nueva pareja, que es f´ertil a los dos meses de edad. Sicomenzamos con una
pareja de reci´en nacidos, ¿cu´antas parejas habr´a en el octavo mes?
√
√
4. Dada la sucesin {an }n definida por a1 = 2 y an+1 = 2an .
a) Demuestre que lasucesi´on es acotada.
b) Demuestre que es mon´otona.
c) ¿Existe el l´ımite?. Si existe calcule.
5. Demuestre que la sucesin {an }n∈N donde an =
√

3 − 2n
es estrictamentedecreciente.
1+n

n+1
√
= 1, determine el n´
umero n0 a partir del cual la distancia entre an y 1
n
es menor que ε = 0, 01 para todo n ≥ n0 .

6. Si se conoce que l´ım

n→∞

7.Demostrar por definici´on que
1
2n + 3
=
n→∞ 4n + 1
2
l´ım

8. Calcule, si es que existe, los siguientes l´ımites, o justifique que no existe.
3n4 + n2
n→∞ 4n4 + n + 6

a)l´ım

1

b) l´ım 2 n
n→∞

c) l´ım 1 + (−1)n
n→∞

1 + (−1)n
n→∞
n

d ) l´ım

1

9. Encuentre el dominio de la siguiente funci´on real
√
f (x) =

√
x−1− x+6
x2 − 3x + 2

10.Grafique las siguientes funciones. Mediante el gr´afico determine dominio natural y recorrido.
√
a) f (x) = − 3 − x
b) f (x) =| x − 2 | −5
c) f (x) = −x2 + 3x − 2

2