Diseño De Experimentos

Tema 1. Modelo de dise˜
no de experimentos
(un factor)

Estad´ıstica (CC. Ambientales). Profesora: Amparo Ba´ıllo

Tema 1: Dise˜
no de experimentos (un factor)

1

Introducci´
on
El objetivo del An´alisis de la Varianza es estudiar si existe relaci´on
entre el valor medio de una variable respuesta o caracter´ıstica (por
ej. el nivel de contaminaci´
on) y una variable cualitativa, atributo ofactor (por ej. la localizaci´
on del lugar de medida).
Ejemplo 1.1: Se mide la contaminaci´
on de un r´ıo analizando la
cantidad de ox´ıgeno que contiene en disoluci´
on el agua. Se toman
muestras en cuatro lugares diferentes del r´ıo (a 10, 25, 50 y 100
km. del nacimiento), obteni´endose:
A 100
A 50
A 25
A 10

km.
km.
km.
km.

4,8
6
5,9
6,3

5,2
6,2
6,1
6,6

5
6,1
6,3
6,4

4,7
5,8
6,1
6,4

5,1
66,5

Queremos averiguar si existen diferencias significativas en el nivel
medio de contaminaci´
on a distintas alturas del cauce.
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Tenemos una muestra de n = 19 elementos que se diferencian en
un factor. En cada elemento de la muestra observamos una
caracter´ıstica continua (Y ), que var´ıaaleatoriamente de un
elemento a otro.
Otros posibles ejemplos:
• ¿Existe diferencia entre el salario medio mensual entre hombre

y mujer?
• ¿Existen diferencias entre las calificaciones medias de

estudiantes de la misma asignatura, pero de distintos grupos?
• Diferencias entre el consumo medio de carburante en coches

de la misma categor´ıa pero distintas marcas.
Para determinar si hay diferenciassignificativas entre las respuestas
medias a distintos niveles del factor, el An´alisis de la Varianza
descompone la variabilidad de un experimento en componentes
independientes que se asignan a causas distintas.
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El modelo
En el Ejemplo 1.1 el factor toma I = valores (los niveles, grupos
otratamientos del factor). Se mide la cantidad de ox´ıgeno en
disoluci´on n1 = veces a 100 km. del nacimiento del r´ıo, n2 =
veces a 50 km., n3 = veces a 25 km. y n4 = veces a 10 km.
ni = no de observaciones de la respuesta para el nivel i del factor
Si n1 = n2 = . . . = nI se dice que el dise˜
no es equilibrado.
I

ni = no total de observaciones de Y

n=
i=1

yij = j-´esimo valor observado de larespuesta en el nivel i,
i = 1, . . . , I , j = 1, . . . , ni
Ejemplo 1.1 (cont.):

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Ejemplo 1.1 (cont.):
6.5

y

6
5.5
5
4.5

1

2

3

4

i

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Suponemos que, en el nivel i del factor, larespuesta Y oscila
aleatoriamente en torno a un nivel desconocido µi , la media de la
poblaci´on i-´esima: E (Yij ) = µi . Cada observaci´
on yij resulta de
una perturbaci´on aleatoria uij en torno al valor medio µi .
El modelo de Analisis de la Varianza (ANOVA) unifactorial es el
modelo lineal
Yij = µi + Uij ,

para j = 1, . . . , ni , i = 1, . . . , I ,

con las siguientes hip´otesis b´asicasdel modelo:
a) E (Uij ) = 0 para todo i, j (linealidad)
b) Var(Uij ) = σ 2 para todo i, j (homocedasticidad)
c) E (Uij Ukl ) = 0 para todo i = k, j = l (independencia)
d) Uij ∼ Normal para todo i, j (normalidad)
A las Uij tambi´en se las llama error experimental.
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Las anteriores hip´otesisequivalen a
a) E (Yij ) = µi para todo i, j
b) Var(Yij ) = σ 2 para todo i, j
c) E (Yij Ykl ) = 0 para todo i = k, j = l
d) Yij ∼ Normal para todo i, j
Seg´
un el modelo las ni observaciones yi1 , yi2 , . . . , yini de la
poblaci´on i son una muestra aleatoria de una N(µi , σ 2 ).
Si estas hip´otesis no se cumplen las conclusiones del An´alisis de la
Varianza pueden ser incorrectas.

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