Diseño en espacio de estados sistema de levitación magnética
Páginas: 10 (2451 palabras)
Publicado: 27 de marzo de 2011
CONTROL DIGITAL
DISEÑO EN ESPACIO DE ESTADOS
Sistema de Levitación Magnética
10/06/10
DISEÑO EN ESPACIO DE ESTADOS
Sistema de Levitación Magnética:
1. OBJETIVOS:
General:
* Diseñar un controlador para un sistema de levitación magnética utilizando espacio de estados.
Específicos:
* Desarrollar y argumentar los aspectos de control automático, tales comomodelamiento matemático, simulación, diseño de controladores, aplicado a un proceso no lineal e inestable.
2. MARCO TEÓRICO
LEVITADOR MAGNÉTICO
Un levitador magnético consiste de una bobina, en la cual, al hacer circular una corriente se genera una fuerza magnética. Dicha fuerza actúa sobre materiales ferromagnéticos, en este caso una pequeña esfera de metal, a la que, mediante un controlador setratará de mantener en el aire a una altura fija. Por tanto debemos encontrar las ecuaciones que relacionen a los componentes de la planta basándonos en el diagrama de cuerpo libre de la esfera. Otro requisito es obtener una expresión de la fuerza magnética en función de las variables que vamos a controlar, esto es, corriente y posición.
En la siguiente figura se puede apreciar de forma muygeneral el sistema del Levitador magnético.
Figura 1. Esquema Levitador magnético
En este caso la variable y representa el desplazamiento de la esfera, desde su posición de equilibrio estático con referencia positiva hacia abajo. De forma más concreta las fuerzas que actúan sobre la esfera pueden apreciarse en el diagrama de cuerpo libre de la figura de abajo. Cuando el sistema seencuentra en equilibrio estático, una fuerza m f actúa sobre la esfera. Además del peso de la misma.
fm = m× g
Cuando existe un desplazamiento positivo, la fuerza mf atrae la esfera hacia arriba, la reacción a ésta fuerza es la fuerza efectiva en la esfera.
Figura [ 2 ]. Diagrama de cuerpo libre de la esfera
3. DESARROLLO:
Introducción:
Todos los sistemas que utilizan levitaciónmagnética para sustentar elementos ferromagnéticos constan, por lo menos, con dos elementos: un sistema eléctrico, constituido por una fuente variable de voltaje y una bobina; un sistema electromecánico, que utiliza la energía eléctrica almacenada en la bobina en forma de campo magnético para compensar la energía mecánica. Esta última relación se comprueba físicamente como el equilibrio de fuerzamagnética y mecánica.
Figura 3. Esquema del sistema de levitación magnética.
Existe un gran interés en la utilización de la levitación electromagnética la cual es muy usada por ejemplo en giroscopios, acelerómetros, trenes de alta velocidad. Ello se debe a las grandes e innumerables ventajas que se tienen respecto a los sistemas convencionales.
En este trabajo se busca modelarmatemáticamente las fuerzas que interactúan en torno a un levitador y diseñar un mecanismo de control que mantenga en el aire una esfera metálica de forma estable, equilibrando la fuerza gravitacional mediante el aumento y disminución de la corriente que llega a un electroimán.
Al no ser lineal nuestro sistema debemos limitar su operación a un rango en el cual el sistema se encuentre en equilibrio, paradiseñar el controlador.
4. DESARROLLO:
Donde:
h = posición vertical de la bola [m].
i = corriente en el electromagneto [Amp].
V = tensión aplicada [V].
M = masa de la bola [0.05 Kg].
g = gravedad [9.8 m/seg²]
L = inductancia [0.01 H].
R = resistencia [1 Ω]
K = coeficiente que determina la fuerza magnética ejercida a la bola [0.0001 N.m²/Amp²].
VARIABLE CONTROLADA |VARIABLE MANIPULADA | ACTUADOR |
Altura | Voltaje de entrada | Bobina o Electroimán |
Variables de estado:
* Corriente.
* Altura.
* Velocidad.
Relaciones básicas para el modelamiento de la planta:
F=m*a
m*g-k*i2h=m*d2hdt2 Ecu.1
V=l*∂i∂t+R*i Ecu.2
Ecuaciones de estado:
x1=i
x2=h
x3=∂h∂t=x2.
Reemplazando en Ecu. 1 y 2
V=l*x1.+R*x1
m*g-k*x12x2=m*x3....
DISEÑO EN ESPACIO DE ESTADOS
Sistema de Levitación Magnética
10/06/10
DISEÑO EN ESPACIO DE ESTADOS
Sistema de Levitación Magnética:
1. OBJETIVOS:
General:
* Diseñar un controlador para un sistema de levitación magnética utilizando espacio de estados.
Específicos:
* Desarrollar y argumentar los aspectos de control automático, tales comomodelamiento matemático, simulación, diseño de controladores, aplicado a un proceso no lineal e inestable.
2. MARCO TEÓRICO
LEVITADOR MAGNÉTICO
Un levitador magnético consiste de una bobina, en la cual, al hacer circular una corriente se genera una fuerza magnética. Dicha fuerza actúa sobre materiales ferromagnéticos, en este caso una pequeña esfera de metal, a la que, mediante un controlador setratará de mantener en el aire a una altura fija. Por tanto debemos encontrar las ecuaciones que relacionen a los componentes de la planta basándonos en el diagrama de cuerpo libre de la esfera. Otro requisito es obtener una expresión de la fuerza magnética en función de las variables que vamos a controlar, esto es, corriente y posición.
En la siguiente figura se puede apreciar de forma muygeneral el sistema del Levitador magnético.
Figura 1. Esquema Levitador magnético
En este caso la variable y representa el desplazamiento de la esfera, desde su posición de equilibrio estático con referencia positiva hacia abajo. De forma más concreta las fuerzas que actúan sobre la esfera pueden apreciarse en el diagrama de cuerpo libre de la figura de abajo. Cuando el sistema seencuentra en equilibrio estático, una fuerza m f actúa sobre la esfera. Además del peso de la misma.
fm = m× g
Cuando existe un desplazamiento positivo, la fuerza mf atrae la esfera hacia arriba, la reacción a ésta fuerza es la fuerza efectiva en la esfera.
Figura [ 2 ]. Diagrama de cuerpo libre de la esfera
3. DESARROLLO:
Introducción:
Todos los sistemas que utilizan levitaciónmagnética para sustentar elementos ferromagnéticos constan, por lo menos, con dos elementos: un sistema eléctrico, constituido por una fuente variable de voltaje y una bobina; un sistema electromecánico, que utiliza la energía eléctrica almacenada en la bobina en forma de campo magnético para compensar la energía mecánica. Esta última relación se comprueba físicamente como el equilibrio de fuerzamagnética y mecánica.
Figura 3. Esquema del sistema de levitación magnética.
Existe un gran interés en la utilización de la levitación electromagnética la cual es muy usada por ejemplo en giroscopios, acelerómetros, trenes de alta velocidad. Ello se debe a las grandes e innumerables ventajas que se tienen respecto a los sistemas convencionales.
En este trabajo se busca modelarmatemáticamente las fuerzas que interactúan en torno a un levitador y diseñar un mecanismo de control que mantenga en el aire una esfera metálica de forma estable, equilibrando la fuerza gravitacional mediante el aumento y disminución de la corriente que llega a un electroimán.
Al no ser lineal nuestro sistema debemos limitar su operación a un rango en el cual el sistema se encuentre en equilibrio, paradiseñar el controlador.
4. DESARROLLO:
Donde:
h = posición vertical de la bola [m].
i = corriente en el electromagneto [Amp].
V = tensión aplicada [V].
M = masa de la bola [0.05 Kg].
g = gravedad [9.8 m/seg²]
L = inductancia [0.01 H].
R = resistencia [1 Ω]
K = coeficiente que determina la fuerza magnética ejercida a la bola [0.0001 N.m²/Amp²].
VARIABLE CONTROLADA |VARIABLE MANIPULADA | ACTUADOR |
Altura | Voltaje de entrada | Bobina o Electroimán |
Variables de estado:
* Corriente.
* Altura.
* Velocidad.
Relaciones básicas para el modelamiento de la planta:
F=m*a
m*g-k*i2h=m*d2hdt2 Ecu.1
V=l*∂i∂t+R*i Ecu.2
Ecuaciones de estado:
x1=i
x2=h
x3=∂h∂t=x2.
Reemplazando en Ecu. 1 y 2
V=l*x1.+R*x1
m*g-k*x12x2=m*x3....
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