Diseño

EJEMPLO 1 DEL MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL
PROBLEMA: Usar el método de Gauss-Seidel para aproximar la solución del sistema:

hasta que
SOLUCIÓN:
Primero se despejan las incógnitas x1, x2 y x3 de las ecuaciones 1, 2 y 3 respectivamente. Se tiene:

Estas últimas son el juego de fórmulas iterativas que se estará utilizando.
Se comienza el proceso iterativo sustituyendo los valores de x2 = x3 = 0en la primera ecuación, para calcular el valor de x1:

Ahora se sustituye y x3 = 0 en la segunda ecuación para obtener x2:

Ahora se sustituye y en la tercera ecuación para obtener x3:

Así se tiene la primera aproximación a la solución del sistema:

Puesto que todavía no se puede calcular ningún error aproximado, se repite el proceso pero ahora con los últimos datos obtenidos para lasincógnitas:
Sustituyendo y en la ecuación 1 se obtiene Sustituyendo y en la ecuación 2 se obtiene finalmente, sustituyendo y en la ecuación 3 se obtiene . Es así como se tiene la segunda lista de valores de aproximación a la solución del sistema:

Ahora se pueden calcular los errores absolutos para cada una de las incógnitas:

Puesto que no se ha logrado el objetivo, se debe repetir el mismoproceso con los últimos valores obtenidos de cada una de las incógnitas. Nótese que aunque el error aproximado ya cumple con ser menor al 1%, esto se debe cumplir para los tres errores aproximados. Por lo tanto se repite el mismo proceso. Omitiendo los pasos intermedios, se obtiene:

En este caso se tienen los siguientes errores aproximados:

Se puede observar que ahora se ha cumplido el objetivopara cada uno de los errores aproximados. Por lo tanto, se concluye que la solución aproximada es:

Importante observación respecto al método de Gauss-Seidel: Es lógico preguntarse si siempre el método de Gauss-Seidel converge a la solución del sistema de ecuaciones y también es lógico esperar que la respuesta es NO.
Un resultado de Análisis numérico da una condición suficiente para laconvergencia del método.
Teorema: El método de Gauss-Seidel converge a la solución del sistema si se cumple la condición de que la matriz de coeficientes del sistema sea una matriz diagonalmente dominante, es decir, si se cumple la siguiente condición:

La condición de ser una matriz diagonalmente dominante simplemente significa que los elementos de la diagonal son mayores (en valor absoluto) que lasuma de los valores absolutos de los demás elementos del mismo renglón. Nótese que en el ejemplo anterior, la matriz sí es diagonalmente dominante y por lo tanto, el método de Gauss-Seidel sí converge a la solución del sistema.
Sin embargo, la condición de la matriz diagonalmente dominante, solamente es una condición suficiente pero no necesaria, es decir, existen sistemas de ecuaciones que nocumplen con la condición y que sí convergen a la solución y también existen sistemas de ecuaciones que no cumplen con la condición y que no convergen a la solución.
Finalmente, obsérvese que aunque un sistema no cumpla con la condición de ser diagonalmente dominante, es posible a veces, lograr que sí se cumpla con esta condición mediante un intercambio de renglones, como se verá en el siguienteejemplo:
EJEMPLO 2 DEL MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL
PROBLEMA: Usar el método de Gauss-Seidel para aproximar la solución del sistema:

hasta que
SOLUCIÓN:
En este caso se puede observar que el sistema no es diagonalmente dominante, lo cual se comprueba con los siguientes cálculos:
Primera fila:
|a11| > (|a12| + |a13|)
5 > (1.4 + 2.7)
5 > 4.1; es cierto.
La condición se cumple para laprimera fila.
Segunda fila:
|a22| > (|a21| + |a23|)
2.5 > (0.7 + 15)
2.5 > 15.7; no es cierto.
La condición no se cumple para la segunda fila.
|a33| > (|a31| + |a32|)
4.4 > (3.3 + 11)
4.4 > 14.3; no es cierto.
La condición no se cumple para la tercera fila.
Para que el sistema sea diagonalmente dominante, la condición debe cumplirse para todas las filas. Por lo tanto, el...